Область застосування релятивістської механіки
У класичній механіці просторові координати і час є незалежними (при відсутності голономних зв'язків, що залежать від часу), час є абсолютним, тобто тече однаково у всіх системах відліку, і діють перетворення Галілея. У релятивістської ж механіці події відбуваються в чотиривимірному просторі, що об'єднує фізичний тривимірний простір і час (простір Маньківського) і діють перетворення Лоренца. Таким чином, на відміну від класичної механіки, одночасність подій залежить від вибору системи відліку.
Основні закони релятивістської механіки - релятивістське узагальнення другого закону Ньютона і релятивістський закон збереження енергії-імпульсу - є наслідком такого «змішання» просторових і тимчасової координат при перетвореннях Лоренца.
Сила визначається як F → = d p → d t> = >>>>. також відомий вислів для релятивістського імпульсу:Взявши для визначення сили похідну за часом від останнього виразу, отримаємо:
В результаті вираз для сили набуває вигляду:
Звідси видно, що в релятивістській механіці на відміну від нерелятівістского випадку прискорення не обов'язково направлено по силі, в загальному випадку прискорення має також і складову, спрямовану по швидкості.
Запишемо інтеграл дії, виходячи з принципу найменшої дії: S = - ∫ a b α d s \ alpha ds>. де α-позитивний число. Як відомо зі спеціальної теорії відносності (СТО) d s = c 1 - v 2 / c 2 d t / c ^ >> dt>. підставляючи в інтеграл руху, знаходимо: S = - ∫ t 1 t 2 α c 1 - v 2 / c 2 d t> ^> \ alpha c / c ^ >> dt>. Але, з іншого боку, інтеграл руху, можна висловити через функцію Лагранжа: S = ∫ t 1 t 2 L d t> ^ >> dt>. Порівнюючи останні два вирази, неважко зрозуміти, що підінтегральна вираження повинні бути рівні, тобто:
Далі, розкладемо останній вираз за ступенями v c >>. отримаємо:
L ≃ α c + α v 2 + 2 c> \ simeq \ alpha c + >>>. перший член розкладу не залежить від швидкості, а значить не вносить ніяких змін в рівняння руху. Тоді, порівнюючи з класичним виразом функції Лагранжа: m v 2 + 2 >>>. неважко визначити константу α:
α = m c. Таким чином, остаточно отримуємо вид функції Лагранжа вільної частинки:
Міркування, наведені вище, можна розглядати не тільки для частки, але і для довільного тіла, аби його частини рухалися як одне ціле.
Оскільки квадрат 4-вектора імпульсу P α> є постійною величиною:
то релятивістська частка може розглядатися як механічна система з неголономній зв'язком в 4-вимірному псевдоевклідовом просторі.