Завдання на умовний екстремум функціоналу з додатковими обмеженнями на змінної
Принцип максимуму, розроблений групою радянських математиків під керівництвом академіка Л.С. Понтрягіна, є розширенням класичного варіаційного числення на випадок, коли на зміну накладені додаткові обмеження, внаслідок чого управлінський вплив можуть мати на відрізку розриви першого роду в кінцевому числі точок, тобто описуються кусково-безперервними функціями.
Отже, згадаємо постановку 6 типового завдання управління. Дан функціонал
вектор коор. сост.
Відомі граничні умови
Управління зв'язку, є матіматіческім описом об'єкта управління
і допустимі обмеження на змінної
Потрібно знайти такий вектор управління, підганяти (4) і (3), якому б відповідала екстремали, що проходить через граничні точки (2) і доставляє екстремум функціоналу.
Для того, щоб геометрично інтерпретувати завдання на умовний функціоналу, введемо нову змінну наступним чином
Приєднавши до - мерному вектору стану, отримаємо розширену мірну систему координат стану приєднавши ж (5) до (3), отримаємо розширену систему управлінь зв'язку
Отже, проста риса над змінної в подальшому буде служити ознакою - мірного простору, хвиляста риса - ознакою (n + 1) мірногопростору. Відзначимо так само, не залежить від знову введеної змінної.
Припустимо, що вектор містить дві змінні і, тоді вектор буде відповідати точка в тривимірному просторі рис.1
Позначимо через П пряму в просторі, що проходить через точку, паралельну осі. Крива, що лежить в площині - допустиме рішення задачі на умовний екстремум функціоналу. Вона є проекцією на площині, кривої, координата яка в будь-який момент часу визначається (6).
Основне завдання оптимального управління можна сформулювати наступним чином.
В (n + 1) вимірному просторі задані початкова точка і пряма П, паралельна осі і проходить через точку; серед усіх допустимих рівнянь володіють тією властивістю, що відповідне рішення системи (7) з початковою умовою проходить при через точку прямої П, вибрати таке управління, для якого координата точки мала б мінімум значення.
Нагадаємо, що це була геометрична постановка завдання на умовний функціоналу.
Перейдемо до формулювання теореми дає необхідна умова. Введемо в розгляд допоміжні змінні, що задовольняють системі рівнянь
Система рівнянь (8) називається сполученої по відношенню до системи (7). Системи рівнянь (7) і (8) можна об'єднати однією формою записи. Для цього введемо в розгляд функцію змінних, звану «гамільтоніані»
Тоді системи рівнянь (7) і (8) можна записати у вигляді:
При фіксованих значеннях і функція стає тільки функцією управління. позначимо
- супремум - це верхня межа функції.
Якщо точна верхня грань досягається, то