Тематичні конспекти
Статистика
Обчислення об'ємів тіл за допомогою принципу Кавальєрі
Сайфутдінова Фірдауса Файзутдіновна, учитель математики МБОУ «Ліцей №2 м Мамадиш»
Якщо при перетині двох тіл F і. Площинами, паралельними одній і тій же площині α, в перерізі завжди виходять фігури, площі яких знаходяться
У Постійному щодо Λ (λ> 0): S = Λ, то обсяги цих тіл знаходяться в тому ж співвідношенні: V (F) = Λ (); або якщо при перетині двох тіл F і площинами, паралельними одній і тій же площині, в перетинах Виходять фігури однакової площі, то обсяги вихідних тел рівні.
За допомогою цього принципу вивести формулу для обчислення обсягу тіл будь-якої циліндричної конструкції. Для цього розмістимо куб так, щоб нижня частина куба влежаного площині нижньої основи циліндричної конструкції, А верхнє підставу куба лежало в площині верхнього підстави циліндричної конструкції. Висота циліндричної конструкції дорівнює H - довжині ребра куба. Будь-яка площина, паралельна підставі куба, перетинає куб по квадрату площею H², а циліндричну конструкцію по фігурі, рівній підставі, площею S. ставлення цих площ для будь-якого перетину одно, тому = або =. звідки випливає, що = HS.
Для отримання обсягу конічної конструкції, розіб'ємо куб з ребром H на три рівні піраміди. Обсяг кожної з них дорівнює.
У паралельних площинах розмістимо піраміду з ребром підстави H і довільну конічну поверхню. Нехай площину α перетинає два тіла на висоті h від вершин. Позначимо перетину конуса і піраміди через, відповідно. Так як відносини площ подібних фігур відносяться, як квадрати відповідних сторін, то = () ² і
= () ² ·, = () ² і = () ² · S. Ми бачимо, що відношення площ двох перетинів є величина постійна і не залежить від вибору висоти січної площини. =. Відповідно до принципу Кавальєрі =.
Висловимо з останнього співвідношення = HS.
Для отримання обсягу кулі, розглянемо полушар з центром в О і радіусом R. Продовжимо площину α обмежує цей полушар великого кола і помістимо на цю площину підставою куб з ребрами, рівними R. Якщо ми відділимо від цього куба чотирикутну піраміду B, що має вершиною вершину B куба, а підставою - верхнє підставу останнього, то отримаємо деякий тіло, яке будемо позначати через. Перетнемо обидва тіла деякої площиною, паралельній площині α і віддаленої від α на відстані x (x -) . У перетині ж тіла тієї ж площиною виходить фігура, площа якої дорівнює -. Звідки ясно, що умови принципу Кавальєру виконані. Отже: = V () = (-) = (-) = . Обсяг кулі в 2 рази більше.
Для закріплення виведених формул в кінці уроку можна запропонувати практичну роботу на обчислення обсягів тіл циліндричної, конічної конструкцій і обсягу кулі. Результати обчислень можна оформити у вигляді такої таблиці.