Завдання 47. У відділенні 10 стрільців, з них 3 відмінних, 5 хороших і 2 посередніх. Відомо, що ймовірність попадання в ціль відмінним стрілком - 0,9, хорошим - 0,8, і стріляє задовільно - 0,6. З ладу навмання викликається один стрілець для здійснення пострілу по цілі. Яка ймовірність попадання в ціль цим стрільцем?
Нехай подія А - стрілець влучив у ціль. Гіпотези: H1 - стрілок відмінний; H2 - стрілок хороший; H3 - стрілок посередній. Ймовірності цих гіпотез наступні:; ; .
Умовні ймовірності ураження цілі за цим гіпотезам дані:
Тоді, відповідно до формули повної ймовірності, шукана ймовірність попадання в ціль буде дорівнює
Рішення. Відповідно до Формулами Байеса. ймовірність гіпотези після випробування дорівнює добутку ймовірності гіпотези до випробування на умовну ймовірність події за цією гіпотезою, поділеній на повну ймовірність події:
У нашій задачі подія А - стрілець потрапив в ціль; гіпотези Н1 - стріляв відмінний стрілець; Н2 - стріляв хороший стрілок; Н3 - стріляв посередній стрілок.
Апріорні [1] (додосвідні) ймовірності гіпотез нам відомі: Р (Н1) = 0,3; Р (Н2) = 0,5; Р (Н3) = 0,2. Умовні ймовірності попадання в ціль по цих гіпотез дані: Р (А / Н1) = 0,9; Р (А / Н2) = 0,8; Р (А / Н3) = 0,6. Повна ймовірність попадання в ціль Р (А) = 0,79.
Тоді апостеріорні [2] (Післядосвідна) ймовірності гіпотез дорівнюватимуть
Зауважимо, що сума ймовірностей гіпотез після випробування завжди дорівнює одиниці. Для нашого прикладу.
Завдання 49. Схожість насіння даної рослини становить 90%. Знайти ймовірність того, що з п'яти посіяних насіння зійдуть: а) чотири; б) не менше чотирьох.
Рішення. Скористаємося Формулою Бернуллі. Якщо проводиться П незалежних випробувань, при кожному з яких ймовірність здійснення подій А постійна і дорівнює Р. а ймовірність протилежної події дорівнює Q = 1-P. то ймовірність Рп (т) того, що при цьому подія А здійснюється рівно Т раз, обчислюється за формулою
Де є число поєднань з П елементів по Т.
А) За умовою завдання ймовірність схожості насіння Р = 0,9; тоді Q = 0,1; в даному випадку П = 5 і Т = 4. Підставляючи ці дані в формулу Бернуллі (1), отримаємо
Б) Шукане подія А полягає в тому, що з п'яти посіяних насіння зійдуть або чотири, або п'ять. Таким чином, Р (А) = Р5 (4) + Р5 (5). Перший доданок вже знайдено. Для обчислення другого знову застосовуємо формулу (1):
Завдання 50. Імовірність появи події А в кожному з 625 випробувань дорівнює 0,64. Знайти ймовірність того, що подія А в цих випробуваннях з'явитися рівно 415 разів.
Рішення. Якщо число випробувань П велике, то застосування формули Бернуллі призводить до громіздким обчисленням. Використання цієї формули ставати практично неможливим. У таких випадках застосовують наближену формулу, яка виражає суть локальної теореми Лапласа.
Якщо ймовірність настання події А в кожному з П незалежних випробувань постійна і дорівнює Р (Р відмінно від нуля і одиниці), а число П досить велике, то ймовірність Рп (т) того, що в цих випробуваннях подія А настане Т раз (байдуже, в якій послідовності) обчислюється наближено за формулою
Є готові таблиці значень функції J (х) (див. Табл. 1 додатку).
Для Х> 5 вважають, що J (х) »0. Так як функція J (х) парна, то J (х) = J (х). За умовою завдання П = 625, Т = 415, Р = 0,64. Знаходимо Q = 1-0,64 = 036. Визначаємо значення Х при цих даних:
За табл. 1 знаходимо, що J (1,25) = 0,1826. Підставивши це значення в (2), отримаємо
Завдання 51. Серед насіння жита 0,04% бур'янів. Яка ймовірність при випадковому відборі 5000 насінин виявити 5 насіння бур'янів?
Рішення. Застосування асимптотической формули (2) для випадку, коли ймовірність Р близька до нуля, призводить до значного відхилення від точного значення Рп (т). При малих значеннях Р (і при малих значеннях Q) застосовують асимптотичну формулу Пуассона.
Якщо ймовірність появи події А в кожному з П незалежних випробувань мала, а число випробувань П досить велике, то ймовірність того, що подія А настане Т раз, обчислюється наближено за формулою
Формулу (3) застосовують в тих випадках, коли L £ 10. При цьому чим більше число П І менше число Р. тим точніше результат за цією формулою. За умовою завдання П = 5000, Т = 5, Р = 0,0004. Тоді L = 5000.0,0004 = 2. Застосовуючи (3), отримаємо
Завдання 52. Ймовірність влучення в ціль при окремому пострілі дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що число влучень при 600 пострілах буде укладено в межах від 330 до 375.
Рішення. Формули Бернуллі, Пуассона, асимптотична формула (2), що виражає суть локальної теореми Лапласа, дозволяють знайти ймовірність появи події А рівно Т раз при П незалежних випробуваннях. На практиці часто потрібно визначити ймовірність того, що подія А настане не менше Т1 раз і не більше Т2 раз, т. Е. Число Т Визначено нерівностями Т1 £ Т £ Т2. У таких випадках застосовують інтегральну теорему Лапласа.
Якщо ймовірність настання події А в кожному з П незалежних випробувань постійна і дорівнює Р (Р відмінна від нуля і одиниці), а число П досить велике, то ймовірність того, що подія А в таких випробуваннях настане не менше Т1 раз і не більше Т2 раз , обчислюється наближено за формулою
Є таблиці значень функції (див. Табл. 2 Додатка). Ф (х) називається функцією Лапласа. Ця функція є непарною, т. Е. Ф (х) = - Ф (х). Тому таблиця значень дається тільки для позитивних чисел. Функція Ф (х) є монотонно зростаючою. При необмеженому зростанні Х функція Ф (х) прагнути до 0,5. Якщо скористатися готовими значеннями функції Лапласа, то формулу (4) можна записати так:
По таблиці 2 знаходимо Ф (1,25) = 0,3944; Ф (-2,5) = - Ф (2,5) = - 0,4938. Підставивши ці значення в (5), отримаємо шукану ймовірність:
Завдання 53. Випадкова величина Х розподілена за нормальним законом. Математичне сподівання М (Х) = 5; дисперсія D (X) = 0,64. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х прийме значення в інтервалі (4,7).
Рішення. Якщо випадкова величина Х задана диференціальною функцією F (X). то ймовірність того, що Х прийме значення, що належить інтервалу (A, B), обчислюється за формулою
Якщо величина Х розподілена за нормальним законом, то
Де А = М (Х) і. За умовою S = 5,, A = 4 і B = 7. Підставивши ці дані в (6), отримаємо
Завдання 54. Вважається, що відхилення довжини виготовлених деталей від стандарту є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Стандартна довжина (математичне очікування) A = 40 см, середнє відхилення S = 0,4 см. Знайти ймовірність того, що відхилення довжини від стандартної складе по абсолютній величині не більше 0,6 см.
Рішення. Якщо Х - довжина деталі, то за умовою задачі ця величина повинна бути в інтервалі (А-D, а + D), де А = 40 і D = 0,6. Підставивши в формулу (6) A = а-D І B = а + D. отримаємо
Підставляючи в (7) наявні дані, отримаємо
Отже, ймовірність того, що виготовлення деталі по довжині будуть в межах від 39,4 до 40,6 см, становить 0,8664.