Нехай - безперервне векторне поле, визначене в деякій області простору. Кажуть, що векторне поле потенційно в даній області, якщо існує скалярний поле. градієнт якого дорівнює. Таким чином, сказане означає, що
Скалярний поле. для якого справедливо рівність (3.5) називається потенціалом векторного поля.
Нехай в просторі задана декартова система координат. Тоді, проектуючи (3.5) на координатні осі, приходимо до рівності:
Якщо координати векторного поля безперервно мають похідні, то, диференціюючи рівності (3.6) за відповідними змінним і користуючись теоремою про змішаних похідних, легко отримати такі, необхідні умови потенційності векторного поля:
Згадавши формулу (2.13), що виражає матрицю похідною векторного поля в декартових координатах, можна зробити висновок, що необхідною умовою потенційності дифференцируемого векторного поля є симетричність його матриці похідною.
Нехай векторне поле потенційно в області. - його потенціал (так що), а - деякий гладкий (або кусочно-гладкий) шлях, що лежить в області. має параметричне рівняння. .
Обчислимо інтеграл. Застосовуючи формулу (3.4) і враховуючи, що. отримаємо
Відповідно до формули (1.19),
Отже, справедливо рівність
Рівність (3.8) показує, що лінійний інтеграл в потенційному векторному полі не залежить від форми шляху, а залежить лише від його початку і кінця і дорівнює різниці потенціалів в кінці і на початку шляху.
Виявляється, що властивість інтеграла в векторному полі не залежати від форми шляху є не тільки необхідним, але і достатніх умов потенційності цього векторного поля. Іншими словами, справедлива наступна
Теорема 3.1. Векторне поле. потенційно тоді і тільки тоді, коли лінійний інтеграл в цьому полі не залежить від форми шляху.
Доведемо, що умова незалежності лінійного інтеграла в векторному полі від форми шляху є достатнім для його потенційності. Необхідність цієї умови виражається рівністю (3.8). Нехай - деяка фіксована точка в області. Візьмемо довільну точку і розглянемо який-небудь шлях. з'єднує точку з точкою і цілком лежить в області. Такий шлях існує, оскільки область за визначенням є лінійно зв'язковим безліччю. За умовою лінійний інтеграл у векторному полі не залежить від форми шляху, значить, при фіксованому початку лінійний інтеграл в поле по шляху буде залежати лише від кінцевої точки. покладемо
Покажемо, що скалярний поле диференційовані, причому його приріст в точці представимо у вигляді
де. Згідно з визначенням градієнта, це буде означати, що справедливо рівність. тобто векторне поле потенційно. Використовуючи визначення скалярного поля. а також властивість адитивності лінійного інтеграла, одержимо
Нехай шлях, що з'єднує точки і. є відрізок. Цей відрізок може бути заданий параметричних рівнянням:. . Застосовуючи формулу (3.4) відомості лінійного інтеграла до певного, отримаємо
Оскільки, за умовою, векторне поле безперервно, справедливо рівність
де. З урахуванням рівності (3.12) права частина формули (3.11) набирає вигляду
Обчислюючи перший доданок в правій частині (3.13), отримаємо. Що ж стосується другого доданка, то, застосовуючи до нього теорему про повну загальну середню, отримаємо. де - кут між векторами і. а - деяка точка з інтервалу (0,1), положення якої при фіксованій визначається вектором. Покладемо. Тоді, очевидно,. З урахуванням сказаного рівність (3.11) набирає вигляду
Підставляючи (3.14) в (3.10) приходимо до рівності виду (3.9) звідки, як уже говорилося, слід що. тобто що векторне поле потенційно.
Циркуляція векторного поля
Нехай, як і вище, - векторне поле, визначене і безперервне в деякій області простору. а - замкнутий шлях (тобто шлях, у якого початок збігається з кінцем). Лінійний інтеграл у векторному полі по шляху називається циркуляцією векторного поля цим шляхом і записується так.
Нехай векторне поле потенційно, а - його потенціал. Тоді, як ми знаємо, для будь-якого шляху справедливо рівність
де - початкова, а - кінцева точки шляху. Якщо шлях замкнутий, то початкова і кінцева його точки збігаються, отже, рівність (4.1) представляється у вигляді. Таким чином, циркуляція потенційного векторного поля по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю.
Назад, нехай у векторному полі для будь-якого замкнутого шляху справедливо рівність. Розглянемо два шляхи і. мають однакові початку і кінці. Позначимо, як і вище, через шлях, протилежний шляху. Тоді кінець шляху збігається з початком шляху. так що існує шлях, який є об'єднанням шляхів і. Покладемо. Очевидно, - замкнутий шлях так що, згідно з нашим припущенням, справедливо рівність. З іншого боку, за властивостями аддитивности і антисиметричність лінійного інтеграла, справедливі рівності:
Отже,. Тим самим, лінійний інтеграл у векторному полі не залежить від форми шляху так що, відповідно до теореми 3.1 це векторне поле потенційно.
Проведені міркування показують, що справедлива наступна
Теорема 4.1. Векторне поле потенційно тоді і тільки тоді, коли його циркуляція по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю.