Сферична поверхня є неразвертивающейся. Існуючі методи побудови її розгортки дають лише наближені результати.
Сутність одного з них полягає в тому, що елемент сферичної поверхні замінюється елементом циліндричної поверхні дотичній до сфери по головному меридіану m. Ось такий циліндричної поверхні проходить через центр сфери перпендикулярно G2. При цьому під елементом сфери розуміють частину її, обмежену двома великими колами.
Для виконання побудови розгортки поверхню сфери:
1) розділити великими колами на кілька (наприклад 6) рівних частин. Кожен з утворених елементів сфери проектується на площину П1. у вигляді сектора;
2) описати навколо сфери циліндричну поверхню, вісь якої проходить через центр сфери перпендикулярно до П2;
3) замінити елемент сфери частиною циліндричної поверхні. Горизонтальною проекцією цього циліндричного елемента виявиться трикутник А1 В1 О1. а фронтальної - контур сфери (дуга окружності).
4) для побудови розгортки циліндричного елемента (пелюстки) розділити його фронтальну проекцію на вісім рівних частин;
5) побудувати горизонтальні проекції утворюють, відповідних точкам розподілу. Справжні довжини відрізків утворюють для побудови розгортки взяти з горизонтальної проекції (відрізки А1 В1. С1 D1. E1 F1. G1 H1) а відстані між ними виміряти на фронтальній проекції (відстані між точками 12 22. і 22 32);
6) при побудові циліндричного елемента (пелюстки) через середину відрізка АВ = А1 В1 провести вертикальну вісь симетрії пелюстки на якій відкласти вгору і вниз чотири відрізка 10 -20 = 12 22. 20 - 30 = 22 32. 30 - 40 = 32 42. 40 - 50 = 42 52.
8) з'єднати плавною кривою кінці відрізків, в результаті чого вийде розгортка верхньої половини пелюстки.
При виконанні побудови розгортки часто виникає необхідність визначити положення будь-якої точки на поверхні. Розглянемо положення точки К на поверхні сфери і перенесемо її зображення на розгортку. Це можна виконати за допомогою двох координат дуг S1 і S2. S2 показує зміщення точки К від екватора до полюса, а дуга S1 - зміщення її від одного з меридіанів по паралелі сфери. Дуга S2 дорівнює тій частині меридіана сфери, яка обмежена екватором і паралеллю, що проходить через точку К (К2).
Мал. 9.6. Побудова розгортки сфери
Довжину цієї дуги S2 = К2 'М2 потрібно відкладати на розгортці від екватора відповідного пелюстки по вертикальній осі симетрії.
Будуємо розгортку кожного сектора (пелюстки) циліндричної поверхні. На кресленні (рис. 9.6, в) показана розгортка одного з них. Потім ламана 1 - 3 - 5 - 7. замінюється плавною кривою, що проходить через ті ж точки (рис. 9.6, г). Отримана фігура приймається за умовну розгортку сектора сфери. Повна розгортка буде складатися з восьми таких фігур (рис. 9.6, д).
Питання для самоконтролю
1. Які поверхні називаються розгортається?
2. Які поверхні мають властивість развёртиваемості?
3. Які способи побудови умовних розгорток ви знаєте?
4. Що являє собою розгортка багатогранника?
5. Перерахуйте, які способи розгорток гранних поверхонь ви знаєте.
6. У чому сутність способу нормального перетину?
7. Яка розгортка кривих розгортаються поверхонь?
8. У чому сутність способу розкочування?
9. Як побудувати умовну розгортку неразвёртивающіхся поверхонь?
Лекція 10. Площини, дотичні до поверхні
10.1. Основні положення
10.2. Приклад побудови дотичної до поверхні
10.1. Основні положення
Дотичні площини мають велике значення в нарисної геометрії. Наявність дотичних площин дозволяє визначити напрямок нормалі n до поверхні в точці дотику М. Рішення таких завдань знаходить широке застосування в інженерній практиці. За допомогою дотичних площин виконують побудову нарисів геометричних фігур, обмежених замкнутими поверхнями.
Пряма лінія t, дотична до якої-небудь кривої лінії g, що належить поверхні, є дотичною і до поверхні (Рис. 10.1, а).
Нормаллю до поверхні в заданій точці називається пряма, яка перпендикулярна до дотичної площини # 964; і проходить через точку дотику (Рис. 10.1, б).
Площина, дотична до поверхні в заданій на поверхні точці М, є безліч всіх прямих - дотичних, проведених до поверхні через дану точку. Через будь-яку точку поверхні можна провести безліч кривих, а, отже, і безліч дотичних прямих. Положення площини в просторі визначається двома пересічними прямими, тому для побудови дотичної площини до поверхні в заданій точці досить побудувати дотичні до двох кривих лініях, які проходять через цю точку. В якості таких кривих вибирають найбільш прості лінії поверхні. Якщо дана поверхня є лінійчатої, то за одну з таких кривих доцільно взяти прямолінійну утворить (дотична до прямої лінії є сама пряма).
У диференціальної геометрії доводиться, що всі ці дотичні прямі розташовуються в одній площині, яка називаетсякасательной площиною ( # 964;) до поверхні в даній її точці (рис. 10.1, б).
Якщо через точку поверхні можна провести дотичну площину і при тому одну, то точка поверхні називається про б и к н о в е н н о й, в іншому випадку - про з про б і й (наприклад, вершина конічної поверхні).
Дотична площину і крива поверхню можуть займати різні положення відносно один одного. При цьому загальним елементом може бути тільки елемент торкання: або точка М (рис. 10.1), або лінія (рис. 10.2). Ця лінія може прямої (рис. 10.2, а) або кривої (рис. 10.2, б).
При побудові дотичної площини або вказують точку дотику, або задають інші умови для її проведення (наприклад: дотична площину повинна проходити через задану поза поверхні точку; дотична площину повинна бути паралельна деякій прямій і ін.).
Мал. 10.1. Дотичні до поверхні # 945 ;: а - пряма t. б - площина
Мал. 10.2. Зображення дотичних ліній: а - пряма, б - крива
10.2. Приклад побудови дотичної до поверхні
Розглянемо на рис. 10.3 приклад побудови дотичної площини до поверхні тора # 945; в точці К.
Через точку К проведемо дві прямі t і t '. Пряма t1 дотична до паралелі тора m, яка є колом, що проходить через точку К. Пряма t 'дотична до меридіану. Року Польщі через цю точку. Для проведення дотичній t 'до меридіану поєднуємо його з головним меридіаном обертанням навколо осі тора. У цьому положенні до нього через точку проводимо дотичну t '. Поворот її в зворотному напрямку дає шукану лінію t '.На малюнку вона визначена нерухомою точкою, в якій дотична t' перетинає вісь тора (1≡1), і заданої точкою К.
Прямі t і t 'визначають шукану площину # 964 ;.
Мал. 10.3. Приклад побудови дотичної площини до поверхні тора
Питання для самоперевірки
1. Що називається дотичній площиною до поверхні?
2. Що називається нормаллю?
3. У чому сутність використання дотичних?
5. Фролов С.А. Нарисна геометрія: Підручник для вузів. - 2-е вид. перераб. і доп. - М. Машинобудування, 1983. - 240 с.