Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Дивимося на таблицю інтегралів і знаходимо схожу формулу:. Але проблема полягає в тому, що у нас під синусом не просто буква «ікс», а складне вираз. Що робити?
Підводимо функцію під знак диференціала:
Розкриваючи диференціал, легко перевірити, що:
Фактично і - це запис одного і того ж.
Але, тим не менш, залишилося питання, а як ми прийшли до думки, що на першому етапі потрібно записати наш інтеграл саме так:. Чому так, а не інакше?
Формула (і всі інші табличні формули) справедливі і застосовні НЕ ТІЛЬКИ для змінної, але і для будь-якого складного виразу АБИ АРГУМЕНТ ФУНКЦІЇ (- в нашому прикладі) І ВИРАЖЕННЯ ПІД ЗНАКОМ диференціала були однаковими.
Тому уявне міркування при рішенні має складатися приблизно так: «Мені треба вирішити інтеграл. Я подивився в таблицю і знайшов схожу формулу. Але у мене складний аргумент і формулою я відразу скористатися не можу. Однак якщо мені вдасться отримати і під знаком диференціала, то все буде нормально. Якщо я запишу. тоді. Але в початковому інтегралі множника-трійки немає, тому, щоб підінтегральна функція не змінилася, мені треба її помножити на ». В ході приблизно таких уявних міркувань і народжується запис:
Тепер можна користуватися табличній формулою:
Єдина відмінність, у нас не буква «ікс», а складне вираз.
Виконаємо перевірку. Відкриваємо таблицю похідних і диференціюючи відповідь:
Отримано вихідна подинтегральная функція, значить, інтеграл знайдений правильно.
Зверніть увагу, що в ході перевірки ми використовували правило диференціювання складної функції. По суті справи підведення функції під знак диференціала і - це два взаємно зворотних правила.
Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.
Аналізуємо підінтегральної функції. Тут у нас дріб, причому в знаменнику лінійна функція (з «іксом» в першого ступеня). Дивимося в таблицю інтегралів і знаходимо найбільш схожу річ:.
Підводимо функцію під знак диференціала:
Ті, кому важко відразу зміркувати, на яку дріб потрібно домножать, можуть швиденько на чернетці розкрити диференціал:. Ага, виходить. значить, щоб нічого не змінилося, мені треба помножити інтеграл на.
Далі використовуємо табличну формулу:
Перевірка:
Отримано вихідна подинтегральная функція, значить, інтеграл знайдений правильно.