§ 22. Лекальні криві
Лекальними називають плоскі криві, накреслені за допомогою лекал по попередньо побудованим точкам. До лекальним кривим відносять: еліпс параболу, гіперболу, циклоиду, синусоїду евольвенту і ін.
Еліпс являє собою замкнуту плоску криву другого порядку. Вона характеризується тим, що сума відстаней від будь-якої її
точки до двох точок фокусів є величина постійна, рівна більшій осі еліпса. Побудувати еліпс можна декількома способами. Наприклад, можна побудувати еліпс по його великий АВ і малої CD осях (рис. 37, а). На осях еліпса як на діаметрах будують дві окружності, які можна розділити радіусами на кілька частин. Через точки поділу великому колу проводять прямі, паралельні малій осі еліпса, а через точки поділу малої окружності - прямі, паралельні великий осі еліпса. Точки перетину цих прямих і є точками еліпса.
Можна навести приклад побудови еліпса по двох зв'язаних діаметрів (рис. 37, б) MN і KL. Сполученими два діаметра називають, якщо кожен з них ділить навпіл хорди, паралельні іншому діаметру. На пов'язаних діаметрах будують паралелограм. Один з діаметрів MN ділять на рівні частини; на такі ж частини ділять і сторони паралелограма, паралельні іншому діаметру, нумеруя їх, як показано на кресленні. З кінців другого сполученого діаметра KL через точки поділу проводять промені. У перетині однойменних променів отримують точки еліпса.
Параболою називають незамкнуту криву другого порядку, всі крапки якої однаково віддалені від однієї точки - фокуса і від даної прямої - директриси.
Розглянемо приклад побудови параболи по її вершині О і будь-якій точці В (рис. 38, а). З цією метою будують прямокутник ОABC і ділять його боку на рівні частини, з точок поділу проводять промені. У перетині однойменних променів отримують точки параболи.
Можна навести приклад побудови параболи у вигляді кривої, дотичній прямої із заданими на них точками А і В (рис. 38, б). Сторони кута, утвореного цими прямими, ділять на рівні частини і ну-
меруют точки ділення. Однойменні точки з'єднують прямими. Параболу викреслюють як огибающую цих прямих.
Гіперболою називають плоску незамкнуту криву другого порядку, що складається з двох гілок, кінці яких видаляються в нескінченність, прагнучи до своїх асимптотам. Гіпербола відрізняється тим, що кожна точка її має особливу властивість: різниця її відстаней від двох даних точок-фокусів є величина постійна, що дорівнює відстані між вершинами кривої. Якщо асимптоти гіперболи взаємно перпендикулярні, вона називається равнобокой. Равнобокая гіпербола широко застосовується для побудови різних діаграм, коли задана своїми координатами одна точка М (рис. 38, в). У цьому випадку через задану точку проводять лінії АВ і KL паралельно координатним осях. З отриманих точок перетину проводять лінії, паралельні координатним осях. В їх перетині отримують точки гіперболи.
Циклоїдою називають криву лінію, яка була траєкторію точки А при перекочування окружності (рис. 39). Для побудови циклоїди від початкового положення точки А відкладають відрізок АА], відзначають проміжне положення точки А. Так, в перетині прямої, що проходить через точку 1, з окружністю, описаної з центру О1, отримують першу точку циклоїди. Поєднуючи плавної прямий побудовані точки, отримують циклоиду.
Синусоїдою називають плоску криву, яка зображує зміна синуса залежно від зміни його кута. Для побудови синусоїди (рис. 40) потрібно розділити окружність на рівні частини і на таку ж кількість рівних частин розділити відрізок прямої АВ = 2лR. З однойменних точок ділення провести взаємно перпендикулярні лінії, в перетині яких отримують точки, що належать синусоїді.
Евольвентою називають плоску криву, що є траєкторією будь-якої точки прямої лінії, перекочуються по колу без ковзання. Побудова евольвенти виконують в наступному порядку (рис. 41): окружність ділять на рівні частини; проводять дотичні до кола, спрямовані в одну сторону і проходять через кожну точку ділення; на дотичній, проведеної через останню крапку поділу кола, відкладають відрізок, рівний довжині кола 2 лR, який ділять на стільки ж рівних частин. На першій дотичній відкладають одну поділку 2 лR / n. на другий - два і т. д.
Отримані точки з'єднують плавною кривою і отримують евольвенту окружності.