Розглянемо вектор v з початковою точкою на початку координат в будь-який координатної системі x-y і з кінцевою точкою в (a, b). Ми говоримо, що вектор знаходиться в стандартному положенні і посилаємося на нього як на радіус-вектор. Зверніть увагу, що пара точок визначає цей вектор. Таким чином, ми можемо використовувати це для позначення вектора. Щоб підкреслити, що ми маємо на увазі вектор, і, щоб уникнути плутанини, як правило, пишуть:
v =.
Координата a є скаляром горизонтальної компоненти вектора, і координата b є скаляром вертикальної компоненти вектора. Під скаляром ми маємо на увазі чисельну кількість, а не векторну величину. Таким чином, це розглядається як компонентна форма v. Зверніть увагу, що a і b НЕ вектора і їх не треба плутати з визначенням компонента вектора.
Тепер розглянемо з A = (x1. Y1) і C = (x2. Y2). Давайте розглянемо, як знайти радіус вектор, еквівалентний. Як Ви бачите на малюнку внизу, початкова точка A переміщена в початок координат (0, 0). Координати P знаходяться вирахуванням координат A з координат C. Таким чином, P = (x2 - x1. Y2 - y1) і радіус вектор є.
Можна показати, що і мають одну і ту ж величину і напрямок, і тому еквівалентні. Таким чином, = =.
Приклад 1 Знайдіть компонентну форму якщо C = (- 4, - 3) і F = (1, 5).
Рішення Ми маємо
= =.
Зверніть увагу, що вектор є рівним радіус-вектору, як показано на малюнку вгорі.
Тепер, коли ми знаємо, як записати вектор в компонентної формі, давайте викладемо деякі визначення.
Довжину вектора v легко визначити, коли відомі компоненти вектора. Для v =. ми маємо
| V | 2 = v 2 +1 v 2 2Іспользуя теорему Піфагора
| V | = √ v 2 +1 v 2 + 2.
Довжина. або величина ветктора v = знаходиться як | v | = √ v 2 +1 v 2 + 2.
Два вектора дорівнюють або еквівалентні, якщо вони мають одну і ту ж величину і одне і те ж напрямок.
Операції з векторами
Щоб помножити вектор V на позитивне число, ми множимо його довжину на це число. Його напрямок залишається колишнім. Коли вектор V множиться на 2, наприклад, його довжина збільшується в два рази, але його напрямок не змінюється. Коли вектор множиться на 1,6, його довжина збільшується на 60%, а напрямок залишається колишнім. Щоб помножити вектор V на негативне дійсне число, множимо його довжину на це число і змінюємо напрямок на протилежне. Наприклад, Коли вектор множиться на (-2), його довжина збільшується в два рази і його напрямок змінюється на протилежне. Так як дійсні числа працюють як скалярні множники в множенні векторів, ми називаємо їх скаляри і твір kv називається скалярні кратні v.
Для дійсного числа k і вектора v =. скалярний добуток k і v є
kv = k. =.
Вектор kv є скалярним кратним вектора v.
Приклад 2 Нехай u = і w =. Знайдіть - 7w, 3u і - 1w.
Тепер ми можемо скласти два вектора, використовуючи компоненти. Щоб скласти два вектора в компонентної формі, ми складаємо відповідні компоненти. Нехай u = і v =. тоді
u + v =
Наприклад, якщо v = і w =. тоді
v + w = =
Якщо u = і v =. тоді
u + v =.
Перед тим, як ми визначимо віднімання векторів нам потрібно дати визначення - v. Протилежний вектору v =. зображеному внизу, є
- v = (- 1) .v = (- 1) =
Віднімання векторів, таке як u - v залучає віднімання відповідних компонент. Ми покажемо це поданням u - v як u + (- v). Якщо u = і v =. тоді
u - v = u + (- v) = + = =
Ми можемо проілюструвати віднімання векторів за допомогою паралелограма. як ми це робили для додавання векторів.
віднімання векторів
Якщо u = і v =. тоді
u - v =.
Цікаво порівняти суми двох векторів з різницею тих же двох векторів в одному параллелограмме. Вектори u + v і u - v є діагоналями паралелограма.
Приклад 3 Зробіть наступні обчислення, де u = і v =.
a) u + v
b) u - 6v
c) 3u + 4v
d) | 5v - 2u |
Рішення
a) u + v = + = =;
b) u - 6v = - 6. = - =;
c) 3u + 4v = 3. + 4. = + =;
d) | 5v - 2u | = | 5. - 2. | = | - | = | | = √ (- 29) 2 + 21 2 = √ 1282 ≈ 35,8
Перш ніж сформулювати властивості векторного додавання і множення, ми повинні дати визначення ще одному спеціальному вектору - нульового вектору. Вектор, чия початкова точка збігається з кінцевою точкою, називається нульовим вектором. позначається O, або. Його величина дорівнює 0. У складення векторів:
v + O = v. + =
Операції над векторами мають ті ж самими властивостями, що і операції над числами.
Властивості векторного додавання і множення
Для всіх векторів u, v, і w, і для всіх скалярів b і c:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b (cv) = (bc) v.
7. (b + c) v = bv + cv.
8. b (u + v) = bu + bv.
Вектор величиною, або довжиною 1 називається орт. Вектор v = є орт, тому що
| V | = | | = √ (- 3/5) 2 + (4/5) 2 = √ 9/25 + 16/25 = √ 25/25 = √ 1 = 1.
Приклад 4 Знайдіть орт, який має те ж саме напрям, що і вектор w =.
Рішення Знайдемо спочатку довжину w:
| W | = √ (- 3) 2 +5 2 = √ 34. Таким чином, ми шукаємо вектор, з довжиною 1 / √ 34 від w і з таким же самим напрямком, що і вектор w. Цей вектор є
u = w / √ 34 = / √ 34 =.
Вектор u є орт, тому що
| U | = | W / √ 34 | = = √ 9/34 + 25/34 = √ 34/34 = √ 1 = 1.
Якщо v є вектор і v ≠ O, тоді
(1 / | v |) • v, or v / | v |,
є орт в напрямку v.
Хоча орт можуть мати будь-який напрямок, орт, паралельні осях x і y особливо корисні. Вони визначаються як
i = and j =.
Будь-вектор може бути виражений як лінійна комбінація орта i і j. Наприклад, нехай v =. Tогда
v = = + = v1 + v2 = v1 i + v2 j.
Приклад 5 Виразіть вектор r = як лінійну комбінацію i і j.
Рішення
r = = 2i + (- 6) j = 2i - 6j.
Приклад 6 Запишіть вектор q = - i + 7j в компонентної формі.
Рішення q = - i + 7j = -1i + 7j =
Векторні операції можуть бути також виконані, коли вектори записані як лінійні i і j.
Приклад 7 Якщо a = 5i - 2j і b = -i + 8j, знайдіть 3a - b.
Рішення
3a - b = 3 (5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6j + i - 8j = 16i - 14j.
кути огляду
Кінцева точка P орт в стандартній позиції є точкою на одиничному колі, певною (cosθ, sinθ). Таким чином, орт може бути виражений в компонентної формі,
u =,
або як лінійна комбінація орт i і j,
u = (cosθ) i + (sinθ) j,
де компоненти u є функціями кута огляду θ вимірюваного проти годинникової стрілки від осі x до цього вектору. Так як θ змінюється від 0 до 2π, точка P відстежує коло x 2 + y 2 = 1. Це охоплює всі можливі напрями ортов і тоді рівняння u = (cosθ) i + (sinθ) j описує кожен можливий орт на площині.
Приклад 8 Розрахуйте і зробіть ескіз орта u = (cosθ) i + (sinθ) j для θ = 2π / 3. Зобразіть одиничну окружність на ескізі.
Рішення
u = (cos (2π / 3)) i + (sin (2π / 3)) j = (- 1/2) i + (√ 3/2) j
Нехай v = з кутом огляду θ. Використовуючи визначення функції тангенса, ми можемо визначити кут огляду їх компонент v:
Приклад 9 Визначте кут огляду θ вектора w = - 4i - 3j.
Рішення Ми знаємо, що
w = - 4i - 3j =.
Таким чином, маємо
tanθ = (- 3) / (- 4) = 3/4 і θ = tan - 1 (3/4).
Так як w знаходиться в третьому квадранті, ми знаємо, що θ є кутом третього квадранта. Відповідний кут є
tan - 1 (3/4) ≈ 37 °, і θ ≈ 180 ° + 37 °, або 217 °.
Кути між векторами
Коли вектор множиться на скаляр, результатом є вектор. Коли складаються два вектора, результатом також є вектор. Таким чином, ми могли б очікувати, що твір двох векторів є вектор, але це не так. Скалярний добуток двох векторів є дійсне число або скаляр. Цей результат корисний в знаходженні кута між двома векторами і у визначенні, чи є два вектори перпендикулярними.
Скалярний добуток двох векторів u = і v = is
u • v = u1 .v1 + u2 .v2
(Зверніть увагу, що u1 v1 + u2 v2 є скаляром. А не вектором.)
Приклад 10 Знайдіть скалярний добуток, коли
u =. v = і w =.
a) u • w
b) w • v
Рішення
a) u • w = 2 (- 3) + (- 5) 1 = - 6 - 5 = - 11;
b) w • v = (- 3) 0 + 1 (4) = 0 + 4 = 4.
Скалярний твір може бути використано для знаходження кута між двома векторами. Кут між двома векторами це найменший позитивний кут, утворений двома направленими відрізками. Таким чином, θ між u і v це той же самий кут, що й між v і u, і 0 ≤ θ ≤ π.
Якщо θ є кутом між двома ненульовими векторами u і v, тоді
cosθ = (u • v) / | u || v |.
Приклад 11 Знайдіть кут між u = і v =.
Рішення Почнемо з знаходження u • v, | u |, і | v |:
u • v = 3 (- 4) + 7 (2) = 2,
| U | = √ 3 2 +7 2 = √ 58. and
| V | = √ (- 4) 2 + 2 2 = √ 20.
Tогда
cosα = (u • v) / | u || v | = 2 / √ 58 .√ 20
α = cos - 1 (2 / √ 58 .√ 20)
α ≈ 86,6 °.
рівновага сил
Коли кілька сил діють на одну і ту ж точку на об'єкті, їх векторна сума повинна бути дорівнює нуля, для того, щоб був баланс. Коли є баланс сил, то об'єкт є стаціонарним або рухається по прямій лінії, без прискорення. Той факт, що векторна сума повинна бути дорівнює нулю виведення для отримання балансу, і навпаки, дозволяє вирішувати нам багато прикладні завдання за участю сил.
Приклад 12 Підвісна блок 350- фунтовий блок підвішений за допомогою двох кабелів. залишилося. У точці А є три сили, що діють так: W блок тягне вниз, а R і S (два кабелі) тягнуть вгору і назовні. Знайдіть навантаження кожного кабелю.
Рішення Намалюємо діаграму з початковими точками кожного вектора на початку кооордінат. Для балансу, сума векторів повинна дорівнювати Про:
R + S + W = О.
Ми можемо висловити кожен вектор через його величину і кут огляду:
R = | R | [(cos125 °) i + (sin125 °) j],
S = | S | [(cos37 °) i + (sin37 °) j], і
W = | W | [(cos270 °) i + (sin270 °) j]
= 350 (cos270 °) i + 350 (sin270 °) j
= -350j cos270 ° = 0; sin270 ° = - 1.
Замінюючи R, S, і W in R + S + W + O, ми маємо
[| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °)] i + [| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350] j = 0i + 0j.
Це дає нам систему рівнянь:
| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °) = 0,
| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) - 350 = 0.
Вирішуючи цю систему, ми отримуємо
| R | ≈ 280 і | S | ≈ 201.
Таким чином, навантаження на кабелі 280 фунтів і 201 фунт.