Областю визначення числової функції (ООФ) називається безліч числових значень, які може приймати аргумент x. так щоб функція мала сенс.
ООФ - це основна характеристика будь-якої функції, з урахуванням якої досліджуються всі інші характеристики;
ООФ знаходиться найчастіше як підмножина X безлічі дійсних чисел. на якому можна виконати всі операції, що визначають значення функції y за значенням її аргументу x; в цьому випадку ООФ називають природною областю визначення функції і вона збігається з областю допустимих значень (ОДЗ) для пенременной в вираженні f (x);
ООФ може перебувати за змістом функції і в цьому випадку вона буде більш вузької, ніж природна ООФ;
прийняті і інші позначення ООФ. наприклад, D (f) або D (y).
Областю значень числової функції (ОЗФ) називається безліч числових значень, які приймає функція y. якщо її аргумент.
ОЗФ - це допоміжна характеристика функції, яка цілком визначається після побудови графіка функції. До того, як графік побудований, ОЗФ може бути знайдена тільки в окремих випадках, коли це допомагають зробити відомі властивості основних елементарних функцій, за допомогою яких записана досліджувана функція. Для ОЗФ прийняті також позначення E (f) або E (y).
Приклад (знаходження ООФ і ОЗФ)
Знайти область визначення і область значень в кожній з наступних функцій:
1) ООФ. або;
ОЗФ. . так як це складна функція, отримана суперпозицією двох функцій. і;
ООФ записана з обмеження щодо розподілу: на нуль ділити не можна;
ОЗФ можна знайти тільки після побудови графіка функції;
ООФ визначена операцією вилучення кореня квадратного, яка має сенс тільки для невід'ємних чисел;
ОЗФ. . так як корінь квадратний приймає все невід'ємні значення, якщо;
тут ООФ враховує обмеження операції логарифмування (логарифми існують тільки від позитивних чисел) і операції ділення (на нуль ділити не можна);
ОЗФ визначається після побудови графіка функції;
тут ООФ записана за змістом завдання функції;
ОЗФ. - визначена за графіком функції;
6) послідовність із загальним членом може розглядатися як функція натурального аргументу n, тобто ООФ. ;
тут ООФ записана за змістом завдання функції; ОЗФ. ;
Таким чином, в якості ООФ і ОЗФ можуть вийти будь-яку безліч: безперервні або дискретні, нескінченні або кінцеві, в тому числі може вийти порожня множина.