Ноу Інти, лекція, проектування просторових сцен

Спеціальні картографічні проекції. Екзотичні проекції земної сфери

З розвитком торгівлі і подорожей придбала більшу важливість досить непросте геометрична задача: як перенести на площину частина земної поверхні, щоб відстані між будь-якими двома точками на ній залишилися неспотвореними? Різні вчені протягом багатьох століть намагалися вирішити цю проблему на замовлення своїх урядів, великих комерсантів або просто мандрівників, для яких така карта була б справжньою знахідкою, так як суттєво полегшила б навігацію, як морську, так і повітряну.

В цілому це завдання виявилося нерозв'язною. Поверхня циліндра або конуса можна без спотворень перенести на площину (такі поверхні називаються розгортаються), відобразити же на площину поверхню сфери, зберігши відстань між будь-якими двома точками, неможливо. Справа в тому, що навіть малу область сферичної поверхні (на відміну від циліндра або конуса) неможливо розгорнути на площині без тріщин, складок або спотворень. Будь-яка плоска карта Землі або якоїсь її частини неодмінно буде спотворювати будь-які властивості. Тому в даний час так необхідні карти з мінімальними (ще краще нульовими) спотвореннями тих властивостей, для передачі яких призначається карта. Бажано, щоб і інші властивості деформувалися якомога менше. Всього існує чотири основні типи спотворень:

спотворення довжин (лінії, однакові на поверхні Землі, зображуються на карті відрізками різної довжини);
спотворення кутів (кути на карті між узятими напрямками не рівні горизонтальним кутам між тими ж напрямками на поверхні земного еліпсоїда);
спотворення форм (форма ділянки або зайнятої об'єктом території на карті відмінна від їхньої форми на поверхні Землі);
спотворення площ (пов'язане з масштабом площі: при сталості величини масштабу площі по всій поверхні карти перекручування площ на ній немає).

Крім класичних карт, велика частина яких була розроблена в середні століття, фантазія вчених надавала навігаторам вельми незвичайні способи проекції земної поверхні, але перш ніж описати способи складання незвичайних карт, розглянемо деякі класичні методи картографії.

Центр проекції може бути довільним по відношенню до проектованої сфері; таким чином, існує безліч всіляких різних проекцій. Якщо проводити промені з деякою точки, взятої на прямій. що проходить через центр кулі перпендикулярно деякої площини, то отримаємо на цій площині перспективну проекцію. Розглянемо деякі з цих проекцій, найбільш корисні з точки зору картографії.

стереографічна проекція

Важлива властивість будь-якої карти - збереження кутів (кут між будь-якими двома лініями на карті повинен бути таким же, як кут між прообразами цих ліній на земній поверхні). Збереження кутів особливо важливо для мореплавання і аеронавтики, так як воно означає, що спостережуваний кут між будь-якими двома орієнтирами дорівнює куту, вимірюваному на карті за допомогою транспортира. Крім того, на такій карті залишаються незмінними і площі малих областей. Карти, що зберігають кути, називаються конформними. Найпростіше побудувати конформну карту за допомогою стереографической проекції.

На рис. 7.8 показано, як поверхня сфери в точці проектується з точки (що належить сфері) на площину, дотичну до сфери в діаметрально протилежній точці (антипод точки). Проекція називається екваторіальній, полярної або косою в залежності від того, де знаходяться антиподи: на екваторі, полюсах або в якій-небудь іншій точці земної поверхні відповідно. На жаль, конформність викликає спотворення масштабу, що зростає зі збільшенням відстані від центру карти.

Мал. 7.8. три проекції

Позначимо за довготу і доповнення до широти точки на сфері буквами і відповідно,, а через і - координати проекцій цієї точки в деякій декартовій системі координат, заданої на площині проекції. Відповідні формули проектування для Північної півкулі мають такий вигляд:

Тут і надалі радіус вважається рівним одиниці. Ось спрямована уздовж меридіана 135.

гномоніческой проекція

Відображення точки з центру земної кулі на площину карти в точку породжує гномоніческой проекцію (рис. 7.8). Проекція отримала таку назву, тому що вона нагадує конструкцію сонячного годинника з гномоном. Будь-яка дуга великого кола на поверхні земної кулі переходить в пряму на гномоніческой карті. Великим колом називається коло на сфері, площина якої проходить через її центр. Така картка не має конформностью, але навігатори цінують її за одну важливу властивість, відсутнє у всіх інших проекцій сфери на площину: пряма між будь-якими двома точками на гномоніческой карті є геодезичної, або найкоротшою дугою між цими двома точками, і відповідає дузі великого кола на поверхні землі.

Ортографічна проекція

Якщо центр проекції перебуває в нескінченності (всі проектують промені паралельні), то проекція буде ортографической (рис. 7.8). Наприклад, дивлячись на Місяць із Землі, спостерігач бачить Місяць практично в ортографической проекції. У краю ортографической карти відстані сильно спотворені. Ортографічна картка не зберігає ні площ, ні кутів, але, виконана досить майстерно, створює сильну ілюзію кулястої Землі. Карти, накреслені з точки зору спостерігача, що знаходиться над земною поверхнею, не точні в передачі багатьох її властивостей, але найбільш вірно відповідають нашому зоровому сприйняттю сфери.

Ця проекція виходить при проектуванні на площину, дотичну до сфери в центрі зображуваного явища, за допомогою променів, перпендикулярних цієї площини. Формули цієї проекції наступні:

Проекції на циліндр

Поверхня сфери також можна проектувати на циліндри і конуси, "надягнуті" на сферу. Після побудови циліндричної або конічної проекції поверхню розрізається і розгортається на площину.

Промені, що проектують земну кулю на циліндр, вибираються так, щоб вони були паралельні площині, висікає окружність, по якій сфера і циліндр стикаються (рис. 7.9). Якщо циліндр стосується Землі уздовж екватора, то всі меридіани і паралелі на карті переходять в прямі, що перетинаються під прямими кутами.

збільшити зображення
Мал. 7.9. Метод циліндричної проекції зі збереженням площ