Модуль чіслаa дорівнює числу a. якщо число позитивне і -a. якщо воно негативне.
Можна записати наступним чином, що
Модуль числа - це відстань від нуля до даного числа.
Якщо під модулем знаходиться функція, то
1. Нерівність виду рівносильно системі нерівностей. за умови ; при - рішень немає.
2. Нерівність виду рівносильно сукупності нерівностей. за умови, що . Якщо, то нерівність справедливо при всіх допустимих значеннях.
3. Нерівність рівносильна подвійній нерівності.
4. Нерівність рівносильна сукупності нерівностей
5. Нерівність виду виконується тоді і тільки тоді, коли
Приклади розв'язання нерівностей з модулем
Розглянемо два випадки, коли вираз під модулем більше або дорівнює нулю і менше нуля.
1 випадок. Якщо, то заданий нерівність еквівалентно системі або
Вирішуючи перша нерівність системи методом інтервалів, отримаємо
Оскільки ми вирішуємо систему нерівностей, то її рішенням буде перетин знайдених рішень, тобто.
2 випадок. Якщо, то заданий нерівність еквівалентно системі або
Вирішуючи перша нерівність системи методом інтервалів, отримаємо
Друге нерівність буде справедливо для всіх дійсних значень, оскільки рівняння має негативний дискриминант.
Тоді рішенням системи буде інтервал.
Рішенням вихідного нерівності буде об'єднання рішень двох випадків, тобто.
Нулями підмодульних виразів є значення і, які розбивають числову вісь на три інтервали.- Якщо, то заданий нерівність набуває вигляду:
В цьому випадку рішень немає, так як отримали невірне нерівність, тобто.
Перетином інтервалу, на якому розглядається заданий нерівність, і отриманого буде проміжок.
Оскільки в результаті перетворень отримали вірне нерівність, то рішенням буде будь-яке дійсне значення змінної:. Перетинаємо з проміжком, на якому розглядаємо, і в результаті отримуємо, що.
Об'єднуючи отримані інтервали в випадках 1-3, запишемо рішення заданої нерівності: