Нерівність про повну загальну середню арифметичному і середньому геометричному (нерівність Коші)
Середнє арифметичне n позитивних чисел не менше їх середнього геометричного.
причому рівність досягається тоді і тільки тоді, коли
Окремий випадок цієї нерівності, що зв'язує середнє арифметичне і середнє геометричне двох позитивних чисел, відомий з давніх часів. Найчастіше його доводять, використовуючи геометричну інтерпретацію.
Побудуємо коло з діаметром AB = a + b.
З довільної точки C окружності проведемо до діаметру перпендикуляр CD.
По властивості прямокутного трикутника, висота, проведена до гіпотенузи. дорівнює середньому геометричному між проекціями катетів на гіпотенузу:
З'єднаємо точку C з центром кола, точкою O. CO - радіус, значить, він дорівнює половині діаметра:
тобто довжина CO дорівнює середньому арифметичному a і b.
У прямокутному трикутнику COD CD - катет, CO - гіпотенуза.
Так як гіпотенуза завжди більше катета. CO> CD, отже, середнє арифметичне a і b більше їх середнього геометричного.
якщо AO = BO, тобто a = b.
(Так як a> 0), і та ф цьому випадку середнє арифметичне a і b дорівнює їх середньому геометричному.
Таким чином, середнє арифметичне позитивних чисел a і b не меншими від їх середнього геометричного.
Що й потрібно було довести .
У загальному випадку нерівність було доведено Коші.