Напівправильні багатогранники - в загальному випадку це різні опуклі багатогранники. які, не будучи правильними. мають деякі їх ознаки, наприклад: всі грані рівні, або всі грані є правильними багатокутниками, або є певні просторові симетрії. Ухвала може варіюватися і включати різні типи багатогранників, але в першу чергу сюди відносяться архимедови тіла.
Архимедови тіла - опуклі багатогранники. володіють двома властивостями:
- Всі грані є правильними багатокутниками двох або більше типів (якщо всі грані - правильні багатокутники одного типу, це - правильний багатогранник. Або Платонове тіло);
- для будь-якої пари вершин існує симетрія багатогранника (тобто рух, що переводить багатогранник в себе), яка переводить одну вершину в іншу. Зокрема,
- всі багатогранні кути при вершинах конгруентний.
Перше побудова напівправильних багатогранників приписується Архімеда. хоча відповідні роботи загублені.
Тіла, двоїсті архімедовим, так звані каталанови тіла. мають неконгруентні межі (перекладні один в одного зрушенням, обертанням або відображенням), рівні двогранні кути і правильні багатогранні кути. Каталанови тіла теж іноді називають напівправильними многогранниками. В цьому випадку напівправильними многогранниками вважається сукупність архімедівських і каталанових тел. Архимедови тіла є напівправильними многогранниками в тому сенсі, що їх межі - правильні багатокутники, але вони не однакові, а каталанови - в тому сенсі, що їх межі однакові, але не є правильними багатокутниками; при цьому для тих і інших зберігається умова одного з типів просторової симетрії: тетраедричного, октаедричного або ікосаедрічеськая.
Тобто напівправильними в цьому випадку називаються тіла, у яких відсутній тільки одне з перших двох з наступних властивостей правильних тел:
- Всі грані є правильними багатокутниками;
- Всі грані однакові;
- Тіло відноситься до одного з трьох існуючих типів просторової симетрії.
Архимедови - тіла, у яких відсутня друга властивість, у каталанових відсутня перша, третя властивість зберігається для обох видів тел.
Існує 13 архімедівських тел, два з яких (кирпатий куб і кирпатий додекаедр) не є дзеркально-симетричними і мають ліву та праву форми. Відповідно, існує 13 каталанових тел.
Список напівправильних багатогранників Правити
Крім архімедівських і каталанових тел, існують нескінченні послідовності багатогранників, що відносяться до Напівправильні: ті правильні призми і правильні антипризми. у яких все ребра рівні.
Каталанови тіла - поряд з Платоновим тілами. равногранного біпіраміди і трапецоедрамі - використовуються в якості гральних кісток в деяких настільних іграх (див. фотографії). Архимедови тіла, у яких грані не рівноправні і тому мають різні шанси випадання, для цієї мети мало придатні.
- Ашкінузе В. Г. Про числі напівправильних багатогранників // Математичне просвітництво. Друга серія. - 1957. - Вип. 1. - С. 107-118.
- Залгаллером В. А. Опуклі багатогранники з правильними гранями // Записки наукових семінарів ломи. Том 2 - 1966.