Завдання, в яких потрібно знайти найменше рішення нерівності, а також найменше ціле або найменше натуральне рішення нерівності, в курсі алгебри вперше зустрічаються при вивченні теми «Лінійні нерівності». Розглянемо на прикладах рішення такого роду завдань.
1) Знайти найменше рішення нерівності
Помножимо обидві частини нерівності на найменший спільний знаменник дробів, рівний 12:
Невідомі - в одну сторону, відомі - в іншу з протилежним знаком:
Обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом:
При розподілі на позитивне число знак нерівності не змінюється:
Найменше значення нерівності одно -3,4 (нерівність Нечитка. Тому -3,4 входить в безліч рішень). Для більшої наочності рішення нерівності можна зобразити на числовій прямій:
2) Назвати найменше рішення нерівності.
Перші дужки розкриємо за формулою квадрата суми. Перед твором двох дужок стоїть знак «мінус», тому, щоб не допустити помилки в знаках, краще спочатку виконати множення, а вже потім розкрити дужки, змінивши знак кожного доданка на протилежний:
Невідомі - в одну сторону, відомі - в іншу з протилежним знаком:
Обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом
При розподілі на позитивне число знак нерівності не змінюється:
Рішенням даної нерівності є будь-яке число, більше 3:
Але найменшого рішення нерівність не має - 3 не входить в рішення, так як нерівність суворе, а будь-яке інше число, більше 3, найменшим рішенням не є.
Відповідь: нерівність найменшого рішення не має.
3) Знайти найменший цілий розв'язок нерівності.
Обидві частини нерівності множимо на найменший спільний знаменник 30:
Розкриваємо дужки і спрощуємо:
Невідомі - в одну сторону, відомі - в іншу з протилежними знаками:
Обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом. Так як 21 - позитивне число, знак нерівності не змінюється:
Найменшим цілим рішенням даного нерівності є x = 2 (так як нерівність Нечитка, 2 входить в безліч рішень).
4) Знайти найменше натуральне рішення нерівності.
Невідомі - в одну сторону, відомі - в іншу з протилежними знаками:
Обидві частини нерівності ділимо на число, що стоїть перед іксом:
При розподілі на негативне число знак нерівності змінюється на протилежний:
Найменшим натуральним рішенням цієї нерівності є x = 1.