МІРА БЕЗЛІЧІ, по-ня-тя, обоб-щаю-ний дли-ну від-рез-ка, пло-ща пло-ської фі-гу-ри і об'єк-ем ті-ла на мно-же-ст-ва бо -лее об-щей при-ро-ди. При-ме-ром М. м. Яв-ля-ет-ся ме-ра Ле-бе-га (вве-Ден-ва А. Ле-бе-гом. 1902) для ог-ра-ні-чен-них мно-дружність, ле-жа-ють на пло-ко-сти. При оп-ре-де-ле-ванні ме-ри Ле-бе-га, так само як і при оп-ре-де-ле-ванні пло-ща-ді пло-ських фі-гур в гео-мет-рії , ис-хо-дять з срав-ні-ня годину-ти пло-ко-сти, за-ні-травні-мій мно-же-ст-вом, з ви-бран-ної оди-ні-цей з-ме -ре-ня. При цьому спо-соб срав-ні-ня на-по-ми-на-ет зви-ний про-процес через ме-ре-ня пло-ща-ді. Ме-ру Ле-бе-га $ m (Δ) $ лю-бо-го квад-ра-та $ Δ $ по-ла-га-ють рав-ної його пло-ща-ді в тих чи інших оди-ні -цах через ме-ре-ня. За-тим за-дан-ве мно-же ст у $ А $ по-кри-ва-ють ко-неп-ним або біс-ко-неп-ним на-бо-ром квад-ра-тов $ Δ_1 , Δ_2. ; $ Ниж нюю грань чи-сіл $ \ sum _ ^ \ infty m (Δ_n) $. взяту по все-мож-ли-вим по-даху-ти-ям мно-же-ст-ва $ А $. на-зи-ва-ють верх-ній (зовн-ній) ме-рій $ m ^ * (А) $ мно-же-ст-ва $ А $. Ниж-ня (внут-рен-ня) ме-ра $ m _ * (А) $ мно-же-ст-ва $ А $ оп-ре-де-ля-ет-ся як раз-ність $ m (Δ) -m ^ * (Ā) $. де $ Δ $ - до.-л. квад-рат, со-дер-жа-щий мно-же ст у $ А $. і $ Ā $ - мно-же ст у всіх то-чек квад-ра-та $ Δ $. не з-дер-жа-ють-ся в $ А $. Ба-же-ст-ва $ А $. для ко-то-яких верх-ня ме-ра рав-на ниж-ній, на-зи-ва-ють через ме-ри-ми-ми по Ле-бе-гу, а про-ний зна-че ня $ m (А) $ верх-ній і ниж-ній заходів - ме-рій Ле-бе-га мно-же-ст-ва $ А $. Гео-мет-річ. фі-гу-ри. маю-щие пло-ща в еле-мен-тар-ном смислі-ле, через ме-ри-ми, і їх ме-ра Ле-бе-га сов-па-да-ет з їх пло-ща-дью . Од-на-ко су ще ст-ву-ють НЕ-квад-ри-РУЕ-мі з-ме-ри-мі мно-же-ст-ва. Ана-ло-гич-но мож-но оп-ре-де-лити ме-ру Ле-бе-га на пря-мій. При цьому верх-ню ме-ру оп-ре-де-ля-ють, рас-гля-ри-вая по-даху-ку мно-же-ст-ва ін-тер-ва-ла-ми.
Осн. свій ст ва ме-ри Ле-бе-га со-сто-ят в тому, що ме-ра лю-бо-го мно-же-ст-ва які-отри-ца-тель-на і ме-ра об'єк-е-ді-ні-ня $ A = \ bigcup _ ^ \ infty A_n $ ко-неп-ної або рахунок-ної систе-ми по-пар-але не-пе-ре-се-каю-чих-ся мно -жеств $ A_1, A_2. $ Рав-на сум-ме їх заходів, т. Е. $ M (A) = \ sum _ ^ \ infty m (A_n) $.
Клас мно-дружність, через ме-ри-мих по Ле-бе-гу, дос-та-точ-но ши-рок; в ча-ст-но-сті, через ме-ри-ми-ми по Ле-бе-гу яв-ля-ють-ся мно-же ст у $ А $ ра-цио-наль-них то- чек ін-тер-ва-ла $ (0, 1) $ і мно-же ст у В ір-ра-цио-наль-них то-чек то-го ж ін-тер-ва-ла. Ці мно-же-ст-ва сход-ни в тому смислі-ле, що ка-ж-дое з них пліт-но на ін-тер-ва-ле $ (0, 1) $. т. е. ме-ж-ду лю-б-ми дво-ма точ-ка-ми вка-зан-но-го ін-тер-ва-ла най-дуть-ся як точ-ки мно-же-ст -ва $ А $. так і точ-ки мно-же-ст-ва $ В $; в той же вре-ма вони рез-ко раз-ли-ча-ють-ся по ме-ре, т. к. $ m (А) = 0 $. а $ m (В) = 1 $. Для бо-леї уз-ких клас-сов мно-дружність ме-ра, сов-па-даю-щая з ле-бе-гов-ської, б-ла ра-неї оп-ре-де-ле-на М. Е. К. Жор-да-ном (1893) і Е. Бо-ре-лем (1898).
Раз-ві-тя ря-да раз-де-лов суч. ма-те-ма-ти-ки при-ве-ло до даль-ней-шим обоб-ще-ні-ям по-ня-ку М. м. - ство-да-нию т. н. аб-ст-Ракта-ної тео-рії ме-ри. При цьому М. м. Оп-ре-де-ля-ють ак-сио-ма-ти-че-скі. Нехай $ U $ - про-з-воль-ве мно-же-ст-во і $ \ mathfrak $ - Ні-ко-то-рої се-мей ст у його під-мно-дружність. Ні-від-ри-ца-тель-ву функ-цію $ μ (A) $. оп-ре-де-льон-ву для всіх $ А $. вхо-дя щих в $ \ mathfrak $. на-зи-ва-ють ме-рій, ес-ли вона впол-ні ад-ді-тив-на, т. е. ес-ли для лю-бій по-сле-до-ва-тель але сті Ні-пе-ре-се-каю-чих-ся мно-дружність $ A_1, A_2. $ Вхо-дя щих в $ \ mathfrak $. сум-ма $ А $ ко-то-яких так-же вхо-дит в $ \ mathfrak $. име-ет ме-сто ра-вен ст у $ μ (A) = \ sum _ ^ \ infty μ (A_n) $. і, кро-ме то-го, сис-те-ма $ \ mathfrak $ удов-ле-тво-ря-ет оп-ре-де-льон-ним до-пол-ніт. ус-ло-ві-ям. Ба-же-ст-ва, вхо-дя-щие в $ \ mathfrak $. на-зи-ва-ють через ме-ри-ми-ми. Як і сле то-го як оп-ре-де-ле-на ме-ра $ μ $. вво-дять по-ня-тя через ме-ри-мих (по від-но-ше-нию до $ μ $) функ-цій і опе-ра-цію ін-тег-ри-ро-ва-ня.
Ба-Гії осн. ут-вер-жде-ня тео-рії ме-ри Ле-бе-га, тео-рії через ме-ри-мих функ-цій і ін-ті-гра-ла Ле-бе-га со-збе-ня -ють-ся з со-від-вет-ст-ву-щі-ми через ме-ні-ня-ми і в аб-ст-Ракта-ної тео-рії ме-ри і ін-ті-гра-ла . Як і слід-ня со-ставши-ля-ет ма-те-ма-тич. ос-но-ва-ня суч. тео-рії ве-ро-ят-но-стей, дан-ве А. Н. К-мо-го-ро-вим (1933). Спец. ін-ті-рес для ря-да про-лас-тей ма-те-ма-ти-ки пред-став-ля-ють ме-ри, ін-ва-ри-ант-ні по від-но-ше- нию до тієї чи іншої груп-пе пре-про-ра-зо-ва-ний мно-же-ст-ва $ U $ в се-бе.