Наведемо визначення границі функції двох змінних по Коші.
Визначення. Число А називається границею функції при, тобто в точці, якщо для будь-якого існує, таке, що при всіх, що задовольняють умовам | | і | | , Виконується нерівність | - А | .
Дане визначення в символьному вигляді можна записати так:
Для позначення границі функції в точці використовують і іншу форму запису:
Зауваження. При визначенні границі функції в точці вважають, що функція може бути і не визначена в самій точці.
Приклад. Довести, користуючись визначенням меж по Коші, що.
Рішення. Область визначення цієї функції D. Виберемо довільне число і знайдемо, таке, що для будь-якої точки, для якої справедливо, виконується нерівність. Так як для будь-якої точки D справедливо співвідношення
де - відстань від точки до точки.
Отже, для будь-якого ми знайшли число, таке, що для будь-якої точки, що належить -окрестності точки, тобто при, буде виконуватися нерівність
Що й потрібно було довести.
Наведені вище визначення границі функції двох змінних без праці узагальнюються на випадок функцій трьох і більше змінних. Узагальнимо, наприклад, визначення меж по Коші на випадок функції незалежних змінних.
Визначення. Число А називається границею функції при, тобто. в точці, якщо для будь-якого існує, таке, що при всіх, що задовольняють умовам | | , | | , ..., | | , Виконується нерівність | - А | .
Користуючись поняттям границі функції, можна дати визначення нескінченно малої функції при (), вивести основні властивості нескінченно малих функцій, порівняти нескінченно малі функції, довести теорему про те, що різниця між функцією, що має межу, і її межею є нескінченно мала функція, сформулювати основні теореми про арифметичні операції над межами. Всі ці теореми для випадку були розглянуті при вивченні функцій однієї змінної.