Розрахунок ланцюгів з використанням законів Кірхгофа
Закони Кірхгофа використовують для знаходження струмів в гілках схеми. Позначимо число всіх гілок схеми через b. число гілок, що містять джерела струму, через bІT. число вузлів - у. У кожній гілці схеми тече свій струм. Так як струми в гілках з джерелами струму відомі, то число невідомих струмів дорівнює (b - bІT). Перед тим як складати рівняння, необхідно довільно вибрати: а) позитивні напрямки струмів в гілках і позначити їх на схемі; б) позитивні напрямки обходу контурів для складання рівнянь за другим законом Кірхгофа.
Щоб отримати лінійно незалежні рівняння, за першим законом Кірхгофа складають число рівнянь, яка дорівнює кількості вузлів без одиниці, тобто у - 1. За другим законом Кірхгофа складають число рівнянь n. рівне
При записи лінійно незалежних рівнянь за другим законом Кірхгофа прагнуть, щоб в кожен новий контур, для якого складаються рівняння, входила хоча б одна нова гілка, яка не увійшла в попередні контури, для яких вже записані рівняння за другим законом Кірхгофа, тобто число рівнянь за другим законом Кірхгофа дорівнює числу незалежних контурів.
Рішення. Довільно вибираємо позитивні напрямки струму в гілках. У схемі рис. 1.13 b = 3; bІТ = 0; y = 2.
Отже, за першим законом Кірхгофа можна скласти тільки одне рівняння y-1 = 1:
За другим законом Кірхгофа складемо два рівняння. Позитивні напрямки обходу контурів вибираємо за годинниковою стрілкою.
Знак плюс перед I1R1 узятий тому, що напрямок струму збігається з напрямком обходу контуру, а знак мінус перед I2R2 тому, що напрямок I2 зустрічно обходу контуру.
Спільне рішення трьох рівнянь дає
У розглянутому прикладі негативними виявилися струми I2 і I3. це слід розуміти так, що в дійсності струми I2 і I3 спрямовані в зворотну сторону.
Метод контурних струмів
При розрахунку методом контурних струмів вважають, що в кожному незалежному контурі схеми тече свій контурний струм. Рівняння складають відносно контурних струмів, після чого через них визначають струми гілок.
Таким чином, метод контурних струмів можна визначити як метод розрахунку, в якому в якості невідомих приймають контурні струми. Число невідомих у цьому методі дорівнює числу рівнянь, що складаються для схеми по другому законі Кирхгофа. Перевагою цього методу, у порівнянні з методом на основі законів Кірхгофа, є менша обчислювальна робота, так як в ньому менше рівнянь.
Висновок основних розрахункових рівнянь проведемо стосовно до схеми рис. 1.14, що містить два незалежних контури. Покладемо, що в лівому контурі за годинниковою стрілкою тече контурний струм I11. а в правій (також за годинниковою) - контурний струм I22. Для кожного з контурів складемо рівняння за другим законом Кірхгофа. При цьому врахуємо, що в суміжній галузі (з опором Rs) тече згори вниз ток I11 - I22. Напрямку обходу контурів приймемо також за годинниковою стрілкою.
Для першого контуру
Для другого контуру
У рівнянні (1.24) множник при струмі I11. є сумою опорів першого контуру, позначимо через R11. множник при струмі I22 (опір суміжній галузі, взяте зі знаком мінус), - через R12.
У рівнянні (1.25) множник при струмі I22. є сумою опорів другого контуру, позначимо через R22. множник при струмі I11 (опір суміжній галузі, взяте зі знаком мінус), - через R21.
Перепишемо ці рівняння наступним чином:
де R11 і R22 - повне або власний опір першого і другого контурів відповідно; E11 і Е22 - контурні ЕРС першого і другого контурів, рівні сумі алгебри ЕРС цих контурів; R12 = R21-опір суміжній галузі між першим і другим контуром, взяте зі знаком мінус, так як контурні струми по гілки протікають зустрічно.
Якщо в схемі більше контурів, наприклад три, то система рівнянь в загальному вигляді виглядає наступним чином:
В результаті рішення системи рівнянь (1.26) будь-якої один або кілька контурних струмів можуть виявитися негативними.
У гілках, які не є суміжними між сусідніми контурами, знайдений контурний струм є істинним струмом гілки. У суміжних галузях через контурні струми визначаються струми гілок.
Якщо в електричному ланцюзі є n незалежних контурів, то число рівнянь теж одно n.
Загальне рішення системи n -уравненій щодо струму Ikk таке:
де D - визначник системи.
алгебраїчне доповнення # 8710; km. отримано з визначника # 8710; шляхом викреслювання k-го стовпця і m -го рядка і множення отриманого визначника на (-1) k + m.
Складання рівнянь за методом контурних струмів для схем з джерелами струму притаманні деякі особливості. У цьому випадку вважаємо, що кожна гілка з джерелом струму входить в контур, замикається через гілки з джерелами ЕРС і опорами, і що струми в цих контурах відомі і рівні струмів відповідних джерел струму. Якщо для схеми рис. 1.15 прийняти, що контурний струм I11 = J тече відповідно до напряму годинникової стрілки по першій і другій гілкам, а контурний струм I22 = I3 замикається також за годинниковою стрілкою по другій і третій гілкам, то, згідно з методом контурних струмів, отримаємо тільки одне рівняння з невідомим струмом I22: