На цих подинтервалах будуються прямокутники, висота їх визначається значенням функції f (x) в будь-якої точці подинтервала.
Якщо f (xi) визначається для лівої межі кожного подинтервала (рис. 2.1), то формула прямокутників має наступний вигляд:
і називається формулою лівих прямокутників.
Якщо f (xi) визначається для правої межі кожного подинтервала (рис. 2), то
і називається формулою правих прямокутників.
Якщо функція монотонна на відрізку [a. b], то в одному випадку виходить значення інтеграла I з недоліком I1. а в іншому - з надлишком I2. Більш точне значення I отримують при усередненні величин:
Якщо f (xi) визначається для середини кожного подинтервала, то формула прямокутників має наступний вигляд:
і називається формулою середніх прямокутників.
Точність інтегрування для цих методів наближено дорівнює # 949; ≈ h.
За допомогою формул лівих, правих і середніх прямокутників обчислити. якщо h = 0,2.
○ Обчислення інтеграла методом прямокутників виконаємо в таблиці Excel (рис. 3, 3-a).
Значення інтервалу інтегрування [0, 1] відповідно помістити в осередки B3 і F3. Інтервал інтегрування розіб'ємо на 5 подинтервалов (n = 5). Введемо значення n в осередок В2. Крок інтегрування обчислимо в осередку F2 за формулою
Мал. 3 (Режим рішення)
Режим показу формул
I) Для наближеного обчислення інтеграла за формулою лівих прямокутників (3) потрібно обчислити значення функції f (x) = 3x 2 - 4x в точках (2):
Обчислення значень x0. x1. x2. x3. x4. представлено в блоці осередків B6: B10, а відповідні їм значення функції - в блоці осередків С6: С10.
Потім слід обчислити їх суму (в осередку С11) і отримане значення помножити на крок інтегрування h (в осередку С12):
Σ = 0-0,68-1,12-1,32-1,28 = -4,4 I = 0,2 # 8729; (-0,44) = -0,88.
II) Для наближеного обчислення інтеграла за формулою правих прямокутників (4) потрібно обчислити значення функції f (x) = 3x 2 - 4x в точках:
Обчислення значень x1. x2. x3. x4. x5 представлено в блоці осередків Е6: Е10, а відповідні їм значення функції - в блоці осередків F6: F10.
Потім слід обчислити їх суму (в осередку F11) і отримане значення помножити на крок інтегрування h (в осередку F12):
Наближене значення інтеграла, обчислене за формулою лівих прямокутників одно -0,88, а за формулою правих прямокутників одно -1,08.
Їх середнє значення ближче до точному, рівному -1.
III) Для наближеного обчислення інтеграла за формулою середніх прямокутників (5) потрібно обчислити значення функції f (x) = 3x 2 - 4x в точках:
(Xi-1 + xi) / 2 (блок осередків G6: H12), їх суму (осередок H11), отримане значення помножити на крок інтегрування h (осередок H12).
Розбиваючи інтервал інтегрування на більше число відрізків, наприклад, на 10, можна отримати більш точне рішення (рис. 4). # 9632;
Так як площа трапеції дорівнює напівсумі підстав, помноженої на висоту, інтеграл наближено дорівнює сумі площ всіх отриманих трапецій:
Таким чином, формула трапецій має вигляд:
I = ≈. (8)
Точність інтегрування для цього методу наближено дорівнює # 949; ≈ h 2.
Приклад (продовження). # 9633; Користуючись формулою трапецій, обчислити при h = 0,2.
Рішення. Обчислення інтеграла методом трапецій (8) виконаємо в таблиці Excel (рис. 6, 6-а).
Σ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1 · [(0-1) -2 · 4,4] = -0,98
Режим показу формул
Розбиваючи інтервал інтегрування на більше число відрізків, наприклад, на 10, можна отримати більш точне рішення (рис. 7).
