Метод Ньютона є найбільш ефективним методом вирішення нелінійних рівнянь. Нехай корінь. т. е.. Припускаємо, що функція неперервна на відрізку і двічі неперервно диференційовна на інтервалі. Покладемо. Проведемо дотичну до графіка функції в точці (рис. 1.8).
Рівняння дотичної матиме вигляд:.
Перше перетин отримаємо, взявши абсциссу точки перетину цієї дотичної з віссю. т. е. поклавши.
Аналогічно поступимо з точкою. потім з точкою і т. д. в результаті отримаємо послідовність наближень. причому
Малюнок 1.8 - Дотична до графіка функції в точці
Формула (1.6) є розрахунковою формулою методу Ньютона.
Метод Ньютона можна розглядати як окремий випадок методу простих ітерацій, для якого
Збіжність методу. Збіжність методу Ньютона встановлює наступна теорема.
Теорема. Нехай - простий корінь рівняння і в деякій околиці цього кореня функція двічі неперервно диференційовна. Тоді знайдеться така мала - околиця кореня. що при довільному виборі початкового наближення з цієї околиці итерационная послідовність, визначена за формулою (1.6) не виходить за межі цієї околиці і справедлива оцінка:
Збіжність методу Ньютона залежить від того, наскільки близько до кореня вибрано початкове наближення.
Вибір початкового наближення. Нехай - відрізок, що містить корінь. Якщо в якості початкового наближення вибрати той з кінців відрізка, для якого. то ітерації (1.6) сходяться, причому монотонно. Малюнок 8 відповідає випадку, коли в якості початкового наближення був обраний правий кінець відрізка: (Тут).
Похибка методу. Оцінка (1.7) незручна для практичного використання. На практиці користуються такі оцінки похибки:
Критерій закінчення. Оцінка (1.8) дозволяє сформулювати наступний критерій закінчення ітерацій методу Ньютона. При заданій точності обчислення потрібно вести до тих пір, поки не буде виконано нерівність
.
Приклад 1.3. Обчислити методом Ньютона негативний корінь рівняння з точністю до 0,0001. Провівши відділення кореня, можна переконатися, що корінь локалізована на інтервалі. У цьому інтервалі і. Так як і. то за початкове наближення можна прийняти.
Таблиця 1.3 - Розрахункові значення