Матрична оптика-оптичні матриці
У матричної оптики будь-яка осесиметрична система описується 2 × 2 матрицею
яка називається оптіческойматріцей системи. Нехай світловий промінь на вході в систему задається своєю висотою і кутом нахилу (все це відносно осі системи), т. Е характеризується двовимірним вектором
Тоді після проходження через систему висота і кут нахилу будуть
Оптична матриця системи є послідовним твором елементарних оптичних матриць - матриць переміщення. заломлення. відображення.
Матриця переміщення. Для отримання матриці переміщення розглянемо світловий промінь, що входить в систему на висоті з кутом нахилу і вільно поширюється вправо на відстань.
Мал. 1. Висота світлового променя на вході, на виході
, кут не змінюється
Тоді на виході з системи його висота буде. З огляду на умову параксіальної, зокрема трохи кута, можна замінити тангенс цього кута на сам кут і отримати
З огляду на, що промінь поширюється у вільному просторі, маємо також
Останні два співвідношення можна записати в матричному вигляді
Отже, переміщення світлового променя у вільному просторі на відстань описується матрицею
яка і називається матрицею переміщення.
Матриця відображення. Переходимо до відображення. Нехай світловий промінь відбивається від сферичного дзеркала радіусу. При цьому відображення відбувається на висоті і до відображення промінь має кут нахилу. Ми використовуємо два підходи для виведення матриці відображення. Перший з них геометричний, як для матриці переміщення, другий використовує парксіальную або гауссову оптику.
Перший - геометричний висновок. Очевидно, що безпосередньо при відображенні висота променя не зміниться, т. Е.
а ось кут нахилу зміниться, і яким чином, ми зараз підрахуємо.
Мал. 2. При відображенні висота світлового променя не змінюється,
кут падіння і кут відображення рівні
Так як дзеркало сферичне, нормаль до нього збігається з радіусом. Кут між світловим променем і радіусом - кут падіння, позначимо, кут відображення теж буде. Тому кут нахилу відбитого променя буде, а з урахуванням того, що після відображення промінь рухатиметься в протилежному напрямку і ми повинні будемо змінити позитивний напрямок осі, насправді буде
Прямокутний трикутник на малюнку 2 дає нам або, враховуючи трохи кутів, просто, тому
Записавши це у матричному вигляді, отримуємо
Отже, відображення світлового променя від дзеркала радіусу описується матрицею
яка називається матрицею відображення.
Додамо, що для променя, що рухається в зворотному напрямку, матриці переміщення і відображення мають той же самий вид.
Другий висновок - використовуємо гауссову оптику. Скористаємося тим фактом, що в області параксіальної оптики промінь, що йде паралельно осі дзеркала, т. Е. Промінь
після відображення потрапляє у фокус сферичного дзеркала, розташований на відстані від його вершини
Мал. 3 Параксіальний промінь, що йде паралельно осі дзеркала, після відображення
потрапляє у фокус, розташований на відстані від вершини
Звичайно ж, безпосередньо після відображення висота променя теж буде дорівнює, а як показує малюнок, кут нахилу променя буде, т. Е. Відбитий промінь, характеризується вектором
І це означає, що
З рівності перших координат лівого і правого векторів випливає, що, з рівності друге координат слід, що.
Тепер звернемо напрямок щойно розглянутого променя. Тоді промінь до відображення буде задаватися вектором
а після відображення
І це означає, що
Знову прирівняємо перші координати, тоді з того, що, випливає, що. А з рівності друге координат слід, що. Разом з це дає, що. Отже, всі елементи матриці відображення знайдені, і ми знову маємо
Матриця тонкої лінзи. Тепер, як тільки що ми зробили, за допомогою гауссових оптики знайдемо матрицю заломлення для тонкої лінзи з фокусною відстанню. Запустимо два світлових променя.
Мал. 4 Перший промінь йде паралельно осі і після проходження через лінзу потрапляє в
фокус, другий промінь входить в лінзу на нульовий висоті і не змінює свого напрямку
Перший з них йде паралельно осі на висоті, т. Е. Характеризується вектором
Після проходження через лінзу він потрапляє у фокус, т. Е. Безпосередньо на лінзі він задається вектором
Т. к. Ці два вектори пов'язані співвідношенням (матрицю тонкої лінзи, як і матрицю відображення, позначають тією ж буквою)
звідси відразу отримуємо,.
Другому променю і до і після відображення відповідає вектор
І це означає, що
а це означає і. Отже, матриця тонкої лінзи має вигляд
І матрицю відображення, і матрицю заломлення можна записати у вигляді
де - оптична сила відповідного пристрою.
Тут викладена лише скорочена версія підстав матричної оптики.