Звести експоненту в матричну ступінь, тобто знайти, де. Випадок комплексних власних значень.
План: Знайдемо частинні розв'язки системи при початкових умовах. і і шукана матрична експонента буде матрицею, де ці приватні рішення будуть записані за стовпцями.
Рішення:
Для початку, знайдемо власні значення цієї матриці:
Тепер знайдемо власні вектора:
1)
Тоді за власний вектор в цьому випадку візьмемо:
Другий власний вектор нам в цьому випадку не потрібні, все одно там все поєднане. Продовжимо.
Тоді, спільним рішенням системи диференціальних рівнянь
буде:
І знайдемо приватне рішення при початкових умовах: і.
1). підставимо в загальне рішення:
І приватне рішення набуде вигляду:
2). підставимо в загальне рішення:
І приватне рішення набуде вигляду:
Запишемо ці приватні рішення по стовпцях:
Перевірку можна зробити за допомогою математичного пакета Maple, тобто обчислити в Мапле матричну експоненту.
Слід для початку підключити бібліотеку функцій для лінійно алгебри:
> With (linalg);
І потім ось таке написати:
> Exponential (, x);
Мапле видасть вам таке:
Що збігається з нашою відповіддю.