При завданні деякого кінцевого безлічі списком його елементів порядок позначення елементів цієї множини не має значення. Наприклад, числа й збігаються, так як вони складаються з одних і тих же елементів, хоча порядок позначення елементів в цих записах різний. Крім цього, кожен елемент входить в безліч в точності один раз, тобто серед елементів множини немає повторюваних. Так, запис означає безліч, що складається з єдиного елемента a, тобто =.
Введемо нове вихідне поняття - поняття впорядкованої пари (a, b), яка представляє собою набір двох об'єктів a і b, не обов'язково різних, першим елементом якого є a, а другим - b.
Декартових (прямим) добутком безлічі А на безліч В називають множину всіх упорядкованих пар (a, b), де перший елемент пари a є елементом множини А, а другий b - безлічі B і позначається А х В.
Приклад. Дано безлічі А = і B =. Тоді декартовій твір AxB =.
Декартово твір множин саме є безліччю і по-цьому до нього застосовні всі вивчені раніше способи завдання і операції.
Декартових квадратом безлічі А називають декартовій твір безлічі А на безліч А (тобто саме на себе). Координатне уявлення точок площині було вперше запропоновано Р. Декартом і історично є першим прикладом прямого твори. Тому часто пряме твір множин називають декартовим твором.
Узагальненням поняття впорядкованої пари є поняття кортежу (вектора) - упорядкованого набору довільних, не обов'язково різних n об'єктів. Кортеж, що складається з елементів x1, x2, ..., xn, позначається (x1, x2, ..., xn) або
Число координат називається довжиною кортежу (розмірністю вектора). Кортежі довжини 2 називають також впорядкованими парами, кортежі довжини 3 - впорядкованими трійками і т.д. кортежі довжини n - впорядкованими n-ми ( «енкамі»).
Два кортежу (x1, x2, ..., xn) і (y1, y2, ..., ym) називаються рівними (пишуть (x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym)), якщо: 1) n = m; 2) xi = yi (i = 1, 2, ..., n).
Проекцією вектора a (a1, a2. An) на деяку вісь називається його компонента (координата) з відповідним порядковим номером (позначається прia). Наприклад, проекція точки площині на 1-ю вісь є її абсциса (перша координата).
Два вектора рівні. якщо вони мають рівну довжину і їх відповідні координати рівні.
При розробці інформаційних систем часто буває необхідно описувати запити на отримання інформації. Для цього можна використовувати мову теорії множин. Масиви однорідних даних Мi представляють собою безлічі, а файл бази даних є підмножиною М їх декартового твори. Кожен запит до цього файлу є проекцією безлічі М, отриману відповідно до умов запиту. Розглянемо приклад знаходження безлічі слідчих молодше 30 років зі стажем роботи в ОВС понад 3 років із зазначенням спеціальних звань і прізвищ.
Для вирішення завдання може бути використана наступна таблиця реляційної бази даних:
