Безліч раціональних рівнянь за типом і методом вирішення можна розділити на наступні:
1. Рішення за допомогою підстановки. При вирішенні деяких раціональних рівнянь має сенс ввести нову змінну, замінивши нею якесь раціональне вираз. Наприклад, в рівнянні aP 2 (x) + bP (x) + c = 0, де P (x) - многочлен, введемо нову змінну y = P (x). Вирішуємо квадратне рівняння ay 2 + by + c = 0 (*) щодо y і повертаємося до вирішення рівнянь P (x) = yi. де yi - рішення рівняння (*).
2. розпадається рівняння. Раціональне рівняння називається розпадаються, якщо його можна представити у вигляді P (x) Q (x) = 0, де P (x) і Q (x) - цілі раціональні функції. Для вирішення таких рівнянь потрібно представити рівняння P (x) Q (x) = 0 у вигляді сукупності:
3. Однорідне рівняння другого порядкаaP 2 (x) + bP (x) Q (x) + cQ 2 (x) = 0. Для його вирішення розглянемо два випадки. Перший - Q (x) = 0, тоді рівняння зводиться до вирішення рівняння P (x) = 0. Другий випадок - Q (x) ≠ 0, тоді вихідне рівняння можна поділити на Q 2 (x) і отримати a (P (x ) / Q (x)) 2 + bP (x) / Q (x) + c = 0. Вводимо заміну P (x) / Q (x) = t і отримуємо квадратне рівняння at 2 + bt + c = 0. В відповідь включаємо рішення обох випадків.
4. біквадратних уравненіеax 4 + bx 2 + c = 0. Для вирішення такого рівняння робиться заміна x 2 = t. x 4 = t 2. Після підстановки нової змінної отримуємо квадратне рівняння at 2 + bt + c = 0 (*). Вирішивши його приходимо до рівняння x 2 = ti. де ti - коріння рівняння (*).
6. симетричної рівняння четвертого порядкаax 4 + bx 3 + СX 2 + bx + a = 0. Згрупуємо доданки і розділимо обидві частини на x 2. Отримаємо
Зробимо підстановку x + 1 / x = t. тоді x 2 + 1 / x 2 = t 2 - 2. Отримуємо квадратне рівняння at 2 + bt + (c - 2a) = 0. Після його рішення повертаємося до вихідної змінної x.
7. Одне рівняння. Рівняння виду ax 4 + bx 3 + СX 2 + dx + e = 0, де a ≠ 0, b ≠ 0 і e / a = (d / b) 2. називається поворотним рівнянням четвертого порядку. Для його вирішення ділимо рівняння на x 2 і вводимо змінну t = bx + d / x. після чого отримуємо квадратне рівняння at 2 / b 2 + t + з - 2ad / b = 0. Вирішивши його, повертаємося до вихідної змінної.
8. Рівняння виду (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m. гдеa + b = c + d. В даном випадку вводимо нову змінну t = x 2 + (a + b) x і отримуємо квадратне рівняння (t + ab) (t + cd) = m. Вирішивши його, повертаємося до вихідної змінної.
9. Рівняння відаP (x) / Q (x) = 0. Вирішуємо рівняння P (x) = 0. Перевіряємо, чому дорівнює значення Q (xi), де xi - коріння рівняння P (x) = 0. Якщо Q (xi ) ≠ 0, значить вони є рішенням вихідного рівняння. Якщо Q (xi) = 0 - корінь випадає з області визначення вихідного рівняння і його потрібно виключити з відповіді.
10. Рівняння відаaP (x) / Q (x) + bQ (x) / P (x) + c = 0. Вводимо нову змінну t = P (x) / Q (x) і отримуємо наступне рівняння: at + b / t + c = 0. Або після домноженія на t (t ≠ 0) отримуємо квадратне рівняння at 2 + ct + b = 0. Вирішивши його, повертаємося до вихідної змінної.
11. Рівняння складається з суми дробів. Один з методів полягає в тому, що потрібно перенести всі члени рівняння в одну частину і звести рівняння до виду P (x) / Q (x) = 0.