Розділ ІІ. стереометрії
§12. КУТИ У ПРОСТОРІ.
3. Кут між площинами.
Якщо дві площини паралельні, то, природно вважати, що кут між ними дорівнює 0 °. Якщо дві площини перетинаються, то воно утворюють чотири двогранні кути із загальним ребром (рис. 440).
Величину меншого з утворених при перетині двох площин двогранного кута називають кут між площинами.
Зрозуміло, що кут між площинами φ задовольняє умові 0 ° ≤ φ ≤ 90 °. Якщо φ = 90 °, то площини називають перпендикулярними.
Якщо згадати яким чином дається визначення лінійного кута двогранного кута, то можна дати інше визначення кута між площинами.
Кутом між площинами, перетинаються, називають кут між прямими, проведеними в цих площинах перпендикулярно до лінії їх перетину.
На малюнку 441 площини α і β перетинаються по прямій m. В площині α проведена пряма а а m. а в площині β пряму b таку, що b m; прямі а і b перетинаються. Якщо кут між прямими а і b дорівнює φ. то кут між площинами α і β також дорівнює φ.
Приклад. Квадрат ABCD. площа якого дорівнює 9 см 2. і прямокутник ABC 1 D 1. площа якого дорівнює 24 см 2. мають загальну сторону, а кут між їх площинами дорівнює 60 °. Знайти відстань між точками D і D 1. Скільки рішень має завдання?
Рішення. Оскільки AD АВ і AD 1 АВ 1. то кут між площинами можна взяти менший з кутів, утворених при перетині прямих AD і AD 1 (рис. 442). Менший з цих кутів за умовою дорівнює 60 °. Тому кут DAD 1 може дорівнювати 60 ° або 120 °.
Звідси висновок: завдання може мати два рішення.
4) Якщо D А D 1 = 60 °, то в Δ А DD 1 по теоремі косинусів:
Якщо D А D 1 = 120 °, то
Отже, відстань між точками D і D 1 дорівнює 7 см або см.
