пов'язаний з властивостями даної кривої.
Вектор - одиничний вектор дотичної в точці. На всій кривій отримаємо вектор-функцію.
Вектор називається вектором кривизни в точці.
називається кривизною кривої в точці. На всій кривій є функцією параметра. Отже,.
Теорема. Гладка лінія є прямою або її частиною тоді і тільки тоді, коли.
?? ) Нехай - пряма або її частина. Тоді де - одиничний спрямовує вектор прямої, - натуральний параметр. Знайдемо.
) Нехай дана крива і. Тоді. Вирішуємо цю систему диференціальних рівнянь: де - деякі константи. Далі, - деякі константи,. Це параметричні рівняння прямої або її частини. ??
Далі будемо розглядати криві, у яких кривизна. Будуємо репер далі. Пряма називається головною нормаллю кривої в точці М. Вектор називається одиничним вектором головної нормалі. Тоді або.
Вектор називається одиничним вектором бинормали. Ця назва виправдана тим, що і за визначенням векторного добутку векторів. Пряма називається бінормаль.
Отже, в довільній точці М вербою ми отримали правий ортонормованій репер, який називається канонічним репером в точці М або рухомим репером. Координатні площини цього репера називаються: - дотична площину, - нормальна площину, - спрямляются площину.
Знайдемо співвідношення між векторами рухомого репера і їх похідними.
Ми знаємо, що . Тоді по лемі §1 вектор розкладається тільки по векторах рухомого репера:. Знайдемо коефіцієнт. Продифференцируем тотожність. Тоді. Підставами вираження для похідних: (Тут ми використовували, що). Таким чином, і. Нам залишилося знайти. Продифференцируем тотожність:.
Отже, ми отримали три тотожності,,. Вони називаються формулами .Френе. Число, визначене в кожній точці М кривої, називається крученням кривої в цій точці. При зміні точки на кривій число змінюється і ми отримуємо функцію.
Знайдемо формули для обчислення кривизни і крутіння для кривої, заданої в натуральній параметризації.
Як ми бачили вище.
Знайдемо формулу для крутіння. Продифференцируем першу формулу Френе. Тоді. Обчислимо змішане твір. Звідки отримуємо.
Виведемо формули для обчислення кривизни і крутіння кривої, заданої в довільній параметризації. Нехай - гладка крива. Розглянемо заміну параметра. Тоді - параметричні рівняння кривої в натуральній параметризації. знайдемо
Тоді. Нам залишилося вивести формулу для обчислення крутіння.
. Обчислимо.
Зауваження. Для даної кривої вектори задають певні вектор-функції довжини дуги кривої. Так як і, маючи криву, ми отримуємо певні функції. Ці рівняння називаються натуральними рівняннями кривої. Мають місце теореми
Теорема (існування). Нехай дві гладкі функції, причому функція неотрицательна і не дорівнює тотожно нулю. Тоді існує крива, для якої буде довжиною дуги, - кривизною, - крутінням.
Теорема (єдиності). Натуральні рівняння визначають криву однозначно з точністю до положення в просторі.
Іншими словами, якщо нам відомі функції і, то шляхом інтегрування системи рівнянь Френе, ми можемо знайти параметричні рівняння кривої, для якої ці функції будуть, відповідно, кривизною і крутінням. При цьому всі рішення рівнянь Френе, відповідні різним значенням постійних інтегрування, суть неконгруентні криві.
Приклад. Розглянемо звичайну кручені лінію. Вона виходить як траєкторія руху точки, рівномірно обертається навколо даної прямий і рівномірно переміщається уздовж цієї прямої. Як даної прямої візьмемо вісь.
Знайдемо закон руху точки М. Нехай в момент часу вона займає положення, Р - ортогональна проекція точки М на площину. Коли М обертається навколо, точка Р рівномірно обертається по колу в площині. Нехай на початку руху,. Так як рух рівномірний, пропорційний часу руху. Для простоти візьмемо коефіцієнт пропорційності рівним 1. Тоді.
Так як М рівномірно рухається навколо осі, її зміщення вздовж пропорційно часу, тобто.
Отже, М рухається по закону.
Очевидно, це гладка лінія. Дійсно, для її координатних функцій існують безперервні приватні похідні будь-якого порядку і виконується умова регулярності,.
Вивчимо властивості звичайної гвинтової лінії.
З перших двох рівнянь слід, що для будь-якої точки кривої, отже, крива лежить на прямому круговому циліндрі.
Знайдемо рухомий репер, кривизну і крутіння гвинтовий лінії.
. Знайдемо кут між прямолінійною твірною МР і вектором. Обчислимо. Отже, гвинтова лінія перетинає прямолінійні утворюючі під постійним кутом. Знайдемо з першого рівняння Френе. Обчислимо. Так як і - одиничний вектор, з останнього рівності отримаємо і.
Розглянемо вектор. Звідки отримуємо, що головна нормаль перпендикулярна осі циліндра.
Дійсно,,. Отже, крутіння постійно і його знак збігається зі знаком константи.
Зауваження. Звичайна гвинтова лінія є окремим випадком досить широкого класу ліній, які називаються кривими Бертрана.
Визначення. Гладка крива називається кривою Бертрана, якщо для неї існує інша гладка крива і відображення, що в кожній парі відповідних точок і мають загальну головну нормаль.
Властивості кривих Бертрана будуть детально розглянуті на семінарі.
сторінка 1
Кривизна і кручення кривої. репер Френе
49.49kb. 1 стор.
§11. Кривизна кривої на поверхні. Друга квадратична форма поверхні
47.49kb. 1 стор.
Рішення. Обчислимо крутіння цієї кривої: Знаходимо. Очевидно. тобто крива плоска.
59.3kb. 1 стор.