1. ТЕОРІЯ кривих
2. Репер Френе в натуральній параметризації
Визначення: репер Френе - три одиничних вектора, що задають
напрямку ребер супроводжуючого тригранників.
Нехай крива задана r r (s).
r
r - направляючий вектор головної нормалі, але не поодинокий.
| r |
позначимо
k
r
r
k | r |
(18)
(18) - одиничний вектор головної нормалі.
[; ]
(19)
3. Репер Френе в натуральній параметризації
| | | [; ] | | | | | sin 90 1
(19) - одиничний вектор бинормали.
. - права трійка векторів становить репер Френе.
4. Властивості репера Френе
5. Властивості репера Френе
Лемма. (Без доведення)
Дано дві некомпланарних впорядковані трійки векторів a. b. c
і a. b. d. причому c || d. тоді c d a. b. c і a. b. d однаковою
орієнтації; c d a. b. c і a. b. d різної орієнтації.
Доведемо одна з властивостей, що [; ]
Доведення:
| [; ] | | | | | cos 90 1
[; ].
.
[; ] ||
6. Властивості репера Френе
- права трійка векторів,
. [; ] Права трійка векторів
. ліва трійка векторів
Ч.т.д.
Лем м а
[; ] [; ]
7. Репер Френе в довільній параметризації
Нехай крива задана r r (t)
T r - дотичний вектор,
B [r; r] - вектор бинормали,
N [T; B] [r; [r; r]] - вектор головної нормалі.
T
r
| T | | r |
B
[R; r]
| B | | [R; r] |
N
| N |
T. N. B - ліва трійка векторів,
. - права трійка векторів.
вихід
Лемма.
Дано дві некомпланарних впорядковані
трійки векторів a. b. c і a. b. d. причому c || d, тоді
c d a. b. c і a. b. d однаковою орієнтації;
c d a. b. c і a. b. d різної орієнтації.
Визначення: нормаль кривої, паралельна
вектору r. називається головною
нормаллю.
Визначення: пряма, перпендикулярна
дотичної до кривої в точці x0,
називається нормаллю.
Визначення: дотичній до лінії L в точці М
називається пряма, з якої
прагне збігтися січна ММ ',
залишаючись на L, прагне до М -
будь то праворуч або ліворуч.
Визначення: нормаль, перпендикулярна
головною нормалі, називається
бінормаль.
