Математичне просвітництво - Вінберг Е. Б
Ми хочемо довести, що образ простору Ьк + й-1 при відображенні п. Збігається з Р. Іншими словами, для будь-якого набору многочленів Р1. Рй, можна знайти функцію / е Ь ^^ - 1 таку, що статечне раз-ложение функції / о Ф-1 в околиці початку координат починається в точності з многочлена рг. Досить припустити, що один многочлен рг є Мономах ступеня до, а інші многочлени рівні нулю. Ес-ли ми доведемо твердження для цього окремого випадку, то, користуючись відображеннями п. При різних до і властивістю лінійності цих отобра-жений, можна отримати і загальне твердження. Отже, припустимо, що
Рг (С1. Сп) = СГ # 9632 ;. # 9632; З ".
Розглянемо функцію / о = ^ а1 '. '. Ясно, що п. (/ О) має вигляд (рг. Рг) (на всіх місцях варто один і той же моном Рг). Це випливає з того, що функція ^ о Ф-1 збігається з ^ для кожного I = 1. й. Нехай ХГ = Ф-1 (0). Тоді функція / = / о задовольняє умові
Пк (/) = (0. рі. 0) (на і-му місці стоїть рі, на інших місцях нулі). Крім того, як неважко бачити, / Є Ьк + гі-і. # 9633;
Ми можемо застосувати цю теорему до просторів X = (С - 0) п і Ь = Ь (Д). Якщо рі. рп Є Ь (Д), і система рівнянь рі =. = = Рп = 0 невироджені, то, по теоремі про обернену функцію, знайдуться такі непересічні околиці ЦІ. коренів цієї системи, що відображення Ф: X ^ Сп, заданий формулою
здійснює взаємно однозначне відповідність між ЦІ і деякими околицями початку координат в Сп. Позначимо через Фі обмеження відображення Ф на ЦІ. Легко бачити, що всі умови теореми 12 виконан-нени. Ми можемо зробити висновок, що функція Гільберта простору Ь (Д) задовольняє нерівності