Я як раз і питаю, чи випливає з того, що два оператора коммутируют, що у них є власний вектор, хоча б один?
У скінченномірному просторі хоча б один є. Але буває так, що цим одним все і обмежується, як в наведеному мною прикладі.
У безконечномірному просторі у оператора може взагалі не бути власних векторів. Навіть у ермітовим.
в доказі я не побачив, де використовується ермітовим
Щоб була загальна система власних функцій, треба, щоб була просто система власних функцій (мабуть, хочеться, щоб вона ще була повною), а для цього потрібна або ермітовим, або схоже умова.
Ще є деяка проблема з тим, що таке власна функція в разі, якщо у оператора є безперервний спектр.
А як це можна довести, або де про це прочитати, можете порадити?
Нехай простір конечномерного і комутує с. У є хоча б один власний вектор (відомий факт), нехай. Тоді. Отже, буде власним вектором для з тим же власним значенням (ну або). Отже, (непорожнє) власне підпростір оператора, що відповідає власному значенню, єінваріантні подпространством. Іншими словами, дія оператора не виводить з цього підпростору. Розглянемо звуження на вказане підпростір; у нього є хоча б один власний вектор, він буде спільним для і.
Доказ не працює в нескінченновимірних випадку, оскільки спирається на факт "у оператора в скінченномірному просторі є хоча б один власний вектор".
А ось з конкретним оператором трансляції, якщо я припускаю, що у першого є система функцій, що відповідають одному своїм значенням, можна повторювати доказ того, що тоді у коммутирующего з ним оператора теж буде така система функцій?
Можна знайти ці функції і обчислити дію на них другого оператора.
але в доказі я не побачив, де використовується ермітовим
Ну докази різні бувають, напевно. Але якщо в принципі, то ключову роль для ермітових операторів грає те, що ортогональное додаток до власного подпространству єінваріантні подпространством. Це дозволяє провести редукцію по розмірності (в скінченномірному випадку, природно, але і на безконечномірний ці міркування в даному разі узагальнюються). Сам же по собі факт інваріантності ортогонального доповнення вірний не тільки для ермітових операторів, а й взагалі для будь-яких нормальних; зокрема, для унітарних.
А ось з конкретним оператором трансляції, якщо я припускаю, що у першого є система функцій,
А що таке оператор трансляції? Якщо мається на увазі зсув (), то у нього взагалі немає власних функцій - у нього спектр чисто безперервний. Правда, цей оператор унітарієм, так що у відповідному узагальненні під теорему він підпадає.