Одиничне коло (трігонометірческій коло), точки на ній.
Привіт, дорогі Новомосковсктелі.
Відразу обмовимося: завдання, хоч віддалено схожі на ті, що будуть на реальному іспиті, з'являться не раніше четвертого уроку. Так що наберіться терпіння.
Отже, приступимо. Одиничне коло і точки на ній.
Щоб краще зрозуміти цю тему, почнемо здалеку: уявімо, що перед нами стадіон, по якому бігає спортсмен. Позначимо цього спортсмена буквою `t`. Нехай він бігає в напрямку, як показує стрілка.
Якщо довжина бігової доріжки - 2 км, а чоловік хоче пробігти, наприклад, 10 км, то йому потрібно для цього зробити 5 кіл. Найцікавіше в тому, що через п'ять кіл людина виявиться в тій же точці, звідки починав. Якщо трохи поміркувати на цю тему, то виходить, що він виявиться в цій же точці і через одне коло і через двадцять. Виходить, точка одна і та ж, а відстань змінюється в залежності від того, скільки кіл пробіг людина.
одиничне коло
Тепер пора перейти до тригонометрії. Давайте для зручності візьмемо коло, радіус якої дорівнює одиниці (якійсь абстрактній одиниці). Це і буде наша одиничне коло.
Яка буде при цьому довжина кола? З геометрії ми знаємо, що довжина обчислюється за формулою `l = 2 \ pi r`. Радіус ми взяли рівним одиниці, виходить `l = 2 \ pi \ cdot 1 = 2 \ pi`.
Значить, якщо почне свій шлях і пройде одне коло, то пройдену відстань `2 \ pi`. Якщо два кола - `4 \ pi`, і так далі. Наша точка може ходити і в зворотний бік, тоді до відстані ми додамо мінус: `-2 \ pi, -4 \ pi, \ dots`.
Розглянемо, яка відстань буде, якщо точка пройде півкола. Зрозуміло, що якщо ціле коло - це `2 \ pi`, то половина кола - це` \ pi`. Якщо точка пройде півтора кола, тобто коло і ще половину, то це буде `2 \ pi + \ pi = 3 \ pi` і так далі.
Покажемо це на малюнку:
Зауважимо, що підпис для кожної точки кола теж буде змінюватися в залежності від того, скільки кіл ми пройдемо. Перераховувати, наприклад, кожен раз `\ dots, - \ pi, \ pi. 3 \ pi, 5 \ pi, \ dots` не хочеться. Тому давайте домовимося, що запис, `\ pi + 2 \ pi k` означатиме, що до відстані` \ pi`, яке точка пройде на першому колі, ми додаємо ще ціле коло `2 \ pi`, помножений на деяку кількість разів `k`. Важливо розуміти, що `k` у нас ціле, записується це так:` k \ in \ mathbb`. Цим записом ми і будемо користуватися надалі.
Тепер було б непогано відзначити інші важливі точки на одиничному колі.
Точки зі знаменником 2
Давайте розділимо тригонометричний коло на чотири рівні частини (рівно як вона ділиться осями). Як буде називатися точка в самому верху кола? Це буде половина від половини кола. Якщо півкола поділити навпіл, отримаємо `\ frac` - чверть кола.
Якщо ми пройдемо в позитивному напрямку ще чверть кола від точки `\ dfrac`, то виходить, що ми пройдемо дві чверті` \ dfrac` і потрапимо саме в точку `\ pi`.
Пройдемо ще чверть і опинимося в нижній точці кола - три чверті кола.
На майбутнє зауважимо, що нижня точка так само може бути отримана, якщо ми підемо в негативному напрямку на таку ж відстань, що і для верхньої точки. Вийде, що це точка `- \ dfrac`.
Якщо ми пройдемо від нижньої точки ще одну чверть - четверту, то ми опинимося в точці `\ dfrac = 2 \ pi`.
Точки зі знаменником 4
Тут можна представляти торт, який ми розрізали на 8 частин. Якщо звістку торт - це `2 \ pi`, то кожен його шматок - це` \ dfrac`.
Вийшло, що одна з наших точок `\ dfrac` - це те ж саме, що і` \ dfrac`. В цьому немає помилки, так і повинно було статися. Уміння знайти таку точку (зі знаменником 4) може стати в нагоді в подальшому, коли ми будемо відбирати коріння. Але про все по порядку.
Точки зі знаменником 3
Тепер розділимо тригонометричний коло на 6 частин і подивимося, що вийде. Розмір кожної частини тепер буде дорівнює `2 \ pi. 6 = \ dfrac`. Підпишемо всі отримані точки так само, як ми робили в попередніх випадках.
І останнє, що нам стане в нагоді - розділити кожну таку частину ще навпіл. Всього буде 12 частин.
Точки зі знаменником 6
На що варто звернути увагу і дуже добре вивчити: точки `\ frac, \ frac, \ frac, \ frac` знаходяться ближче до осі абсцис, а точки` \ frac, \ frac, \ frac, \ frac` - ближче до осі ординат .
Завдання для тренування
Знайдіть на окружності точки:
Обов'язково потренуйтеся знаходити точки на колі. Найважливіше при підготовці до ЄДІ - це практика. Чим більше уваги ви приділите підготовці, тим більш передбачуваний і високий результат на іспиті ви отримаєте (спасибі, Кеп). Як би це ні було очевидно, багато випускників не роблять самостійних завдань. В результаті з усіх, хто починав робити завдання С1 тільки кожен третій виконав його вірно. (Це не рахуючи тих, хто до завдання не приступав)