У попередніх уроках ми розглянули два способи розкладання многочлена на множники: винесення спільного множника за дужки і спосіб угруповання.
У цьому уроці ми розглянемо ще один спосіб розкладання многочлена на множники - застосування формул скороченого множення.
Перш ніж перейти до цього уроку обов'язково вивчіть напам'ять всі формули скороченого множення.
Рекомендуємо кожну формулу прописати не менше 12 разів. Для кращого запам'ятовування випишіть все формули скороченого множення собі на невелику шпаргалку.
Згадаймо, як виглядає формула куба суми.
(A + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Важливо розуміти, що будь-яка формула скороченого множення діє і у зворотний бік.
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3
Як звести в куб многочлен
Розглянемо приклад. Необхідно звести в куб многочлен.
Використовуємо формулу куба суми. Тільки замість «a» у нас буде «x», а замість «b» буде «2y».
Часто зводять многочлен в куб наступним чином:
Це не вірно! Для зведення многочлена в куб необхідно використовувати формулу скороченого множення: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Застосування куба суми для розкладання многочлена на множники
Розглянемо многочлен. Потрібно розкласти його на множники, використовуючи формулу куба суми.
Зверніть увагу, що многочлен «m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3» нагадує праву частину формули «a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3», тільки замість «a» стоїть «m», а на місці «b» стоїть «n».
Використовуємо для многочлена «m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3» формулу куба суми.
Розглянемо приклад складніше. Потрібно розкласти многочлен на множники.
У цьому многочлене не так очевидно, що буде у формулі «a», а що «b».
Уявімо многочлен «27x 3 + 54x 2 + 36x + 8» у вигляді «a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3».
Звернемо увагу, що «27x 3» - це «(3x) 3», означає «a» в вихідному многочлене - це «3x».
Щоб зрозуміти, що є «b» у вихідному многочлене, розглянемо останній одночлен - «8». Згадаймо, що «8» - це «2 3», означає «b» у вихідному многочлене - це «2».
Розглянемо одночлени посередині «54x 2» і «36x». При порівнянні многочлена з кубом суми «a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3» можна зрозуміти, що ці одночлени повинні бути «3a 2 b» і «3ab 2 відповідно.
Перетворимо одночлени «54x 2» і «36x» у вигляді «3a 2 b» і «3ab 2». З урахуванням того, що раніше ми знайшли, що в нашому многочлене «a» - це «3x», а «b» - це «2».
Уважно перевіряйте, чи правильно ви розклали числові коефіцієнти.
Перевіримо, чи правильно ми розклали одночлени «54x 2» і «36x».
- 54x 2 = 3 · (3x) 2 · 2 = 3 · 9x 2 · 2 = 27x 2 · 2 = 54x 2 (вірно)
- 36x = 3 · 3x · (2) 2 = 3 · 3x · 4 = 9x · 4 = 36x (вірно)
Після необхідних перетворень стає видно, що многочлен
«27x 3 + 54x 2 + 36x + 8» є правою частиною формули куба суми
«(A + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3».
Використовуємо формулу куба суми і вирішимо приклад до кінця.