5610. На діагоналі паралелограма взяли точку, відмінну від її середини. З неї на всі боки паралелограма (або їх продовження) опустили перпендикуляри.
а) Доведіть, що чотирикутник, утворений підставами цих перпендикулярів, є трапецією.
б) Знайдіть площу отриманої трапеції, якщо площа паралелограма дорівнює 16, а один з його кутів дорівнює
Відповідь. 6.
Вказівка. Розгляньте дві пари подібних прямокутних трикутників (або застосуйте метод допоміжної окружності).
Рішення. Перший спосіб. а) Візьмемо на діагоналі
відмінну від середини
і проведемо через неї перпендикуляри
до сторін паралелограма (див. рис.). прямокутні трикутники
подібні. Точно так же подібні трикутники
Звідси випливає подобу трикутників
Тоді навхрест лежачі кути
рівні, а тому прямі
паралельні. Отже, чотирикутник
- паралелограм або трапеція.
Доведемо, що це трапеція. якщо
- трапеція.
б) Позначимо площу паралелограма
а його гострий кут -
Кут між діагоналями
дорівнює куту між перпендикулярними діагоналям прямими
т. е. цей кут дорівнює
Тому площа трапеції дорівнює:
отримуємо, що площа трапеції дорівнює
Другий спосіб. а) З точок
видно під прямим кутом, значить, ці точки лежать на окружності з діаметром
Вписані в цю окружність кути
спираються на одну й ту ж дугу, тому
\ Angle LMO = \ angle LAO
Аналогічно доведемо, що
\ Angle NCO = \ angle NKO
\ Angle NCO = \ angle LAO