У тому випадку якщо хвиля поширюється в однорідному середовищі, то її рух в загальному випадку описують хвильовим рівнянням (диференціальним рівнянням в приватних похідних):
де $ v $ - фазова швидкість хвилі $ \ triangle = \ frac ^ 2> + \ frac ^ 2> + \ frac ^ 2> $ - оператор Лапласа. Рішенням рівняння (1,2) служить рівняння будь-якої хвилі, дані рівняння задовольняють, наприклад, і плоска і сферична хвилі.
Якщо плоска хвиля поширюється вздовж осі $ X $, то рівняння (1) представляється як:
Якщо фізична величина поширюється як хвиля, то вона обов'язково задовольняє хвильовому рівнянню. Справедливо зворотне твердження: якщо будь - яка величина підпорядковується хвильовому рівнянню, то вона поширюється як хвиля. Швидкість поширення хвилі буде дорівнює квадратному кореню з коефіцієнта, який стоїть при сумі просторових похідних (в даному виді записи).
Хвильове рівняння грає дуже велику роль у фізиці.
Рішення хвильового рівняння для плоскої хвилі
Запишемо загальний розв'язок рівняння (2), для світлової хвилі, що розповсюджується в вакуумі в разі, якщо s скалярная функція залежить тільки від однієї з декартових змінних, наприклад $ z $, тобто $ s = s (z, t) $, що означає , функція $ s $ має постійне значення в точках площини, яка перпендикулярна $ осі Z $. Хвильове рівняння (1) в цьому випадку набуде вигляду:
де швидкість поширення світла у вакуумі дорівнює $ c $.
Спільним рішенням рівняння (4) при заданих умовах буде вираз:
де $ s_1 \ left (z + ct \ right) $ - функція описує хвилю довільної форми, яка переміщається зі швидкістю $ c $ в негативному напрямку по відношенню до напрямку $ осі Z $, $ s_2 \ left (z-ct \ right) $ - функція описує хвилю довільної форми, яка переміщається зі швидкістю $ c $ в позитивному напрямку по відношенню до напрямку $ осі Z $. Треба відзначити, що в процесі руху значення $ s_1 $ і $ s_2 $ в будь-якій точці хвилі і її форма хвилі незмінні.
Виходить, що хвиля, яку описує суперпозиція двох хвиль (відповідно до формули (5)). Причому ці складові хвилі рухаються в протилежних напрямках. У цьому випадку вже не можна говорити про швидкість або напрямку хвилі. У найпростішому випадку виходить стояча хвиля. У загальному випадку необхідно розглядати складне електромагнітне поле.
Хвильове рівняння і система рівнянь Максвелла
Хвильові рівняння для коливань векторів напруженості електричного поля і вектора магнітної індукції магнітного поля легко отримати з системи рівнянь Максвелла в диференціальної формі. Запишемо систему рівнянь Максвелла для речовини, в якому немає вільних зарядів і струмів провідності:
Застосуємо операцію $ rot $ до рівняння (7):
У вираженні (10) можна змінити порядок диференціювання в правій частині виразу, так як просторові координати і час - незалежні змінні, отже, маємо:
Візьмемо до уваги те, рівняння (6), замінимо $ rot \ overrightarrow $ в вираженні (11) на праву частину формули (6), маємо:
Знаючи, що $ rotrot \ overrightarrow = graddiv \ overrightarrow- ^ 2 \ overrightarrow $, і використовуючи $ div \ overrightarrow = 0 $, отримуємо:
Аналогічно можна отримати хвильове рівняння для вектора магнітної індукції. Воно має вигляд:
У виразах (13) і (14) фазова швидкість поширення хвилі $ (v) $ дорівнює:
Завдання: Отримайте спільне рішення хвильового рівняння $ \ frac ^ 2s> - \ frac \ frac ^ 2s> = 0 (1.1) $ плоскою світлової хвилі.
Введемо незалежні змінні виду для функції $ s $:
\ [\ Xi = z-ct, \ \ eta = z + ct \ left (1.2 \ right). \]
В такому випадку приватна похідна $ \ frac $ дорівнює:
Приватна похідна $ \ frac $ дорівнює:
Віднімемо почленно вираз (1.4) з виразу (1.3), маємо:
Почленне додавання виразів (1.4) і (1.3) дає:
Знайдемо твір лівих частин виразів (1.5) і (1.6) і врахуємо результати, записані в правих частинах цих виразів:
Якщо проінтегрувати вираз (1.7) по $ \ xi $, то отримаємо функцію, яка не залежить від цієї змінної, і може залежати тільки від $ \ eta $, що означає, що вона є довільною функцією $ \ Psi (\ eta) $. У цьому випадку рівняння (1.7) набуде вигляду:
Проведемо інтегрування (1.8) по $ \ eta $ маємо:
де $ s_1 \ left (з \ right) $ - первісна, $ s_2 \ left (\ xi \ right) $ - постійна інтегрування. Причому, функції $ s_1 $ і $ s_2 $ - довільні. З огляду на вираження (1.2), загальний розв'язок рівняння (1.1) можна записати як: