Будь-яке лінійне перетворення однозначно визначає матрицю А оператора в заданому базисі простору.
Ненульовий вектор називається характеристичним (власним) вектором квадратної матриці. що належить її власному значенню. якщо після перетворення він переходить в вектор, що відрізняється від лише на постійний множник. тобто, якщо
Числовий множник називається характеристичним коренем (власним значенням) матриці А оператора.
Для будь-якого власного вектора матриці А. належить своїм значенням і будь-якого числа вектор також є власним вектором матриці А. належить своїм значенням.
Багато прикладні завдання економіки зводяться до проблеми відшукання власних значень і власних векторів матриць.
Рівняння (6.7) може бути представлено у вигляді
Матриця називається характеристичною матрицею.
Нетривіальне (нульове) рішення рівняння (6.8) існує лише в тому випадку, якщо визначник характеристичної матриці дорівнює нулю:
Рівняння (6.9) називається характеристичним рівнянням. Якщо А - матриця порядку. то характеристичне рівняння є алгебраїчним рівнянням ступеня n щодо:
Це рівняння має n не обов'язково різних коренів причому деякі з них можуть бути комплексними числами. Кожному з цих характеристичних коренів відповідає характеристичний вектор, визначений з точністю до постійного множника.
Приклад 6.2. Характеристичне рівняння для матриці має вигляд. Рівняння має два корені:. . Характеристичними векторами, відповідними і. є вектора і. де с - довільна константа. Довільні константи часто виключають з розгляду, вводячи нормалізовані вектори. В даному прикладі нормалізованими векторами є і.
Властивості характеристичних коренів
1. Сума характеристичних коренів дорівнює сліду матриці:
3. Твір характеристичних коренів одно визначник матриці:.
4. Число ненульових характеристичних коренів матриці збігається з рангом цієї матриці.
5. Характеристичними корінням діагональної матриці є елементи її головної діагоналі.
6. Для симетричних матриць все n власних значень є речовими числами.
Згідно з теоремою Гамільтона-Келі. матриця А є коренем свого характеристичного рівняння:
Теорема Гамільтона-Келі.Пусть характеристичним рівнянням матриці А є рівняння
Тоді справедливо матричне рівняння
У деяких випадках інтерес представляє завдання відшукання власних векторів, що належать своїм значенням. Достатні умови існування такого власного вектора випливає з наступної теореми.
Теорема про одиничному власному значеніі.Еслі в матриці А сума елементів кожного стовпця дорівнює 1, то є власний вектор, що належить власному числу 1.
У багатьох пов'язаних з відшукання власних векторів прикладних задачах економіки змістовний сенс мають тільки власні вектора з позитивними компонентами. Умови існування таких векторів даються теоремою Фробеніуса-Перрона.
Теорема Фробеніуса-Перрона.Пусть А - невід'ємна квадратна матриця. тоді:
1. Максимальна по модулю власне значення матриці А неотрицательно. Серед власних векторів, що належать є невід'ємні вектор.
2. У разі все невід'ємні власні вектори матриці А позитивні і належать тільки її максимальному по модулю власного значення. Крім того, в цьому випадку будь-які два позитивних власних вектора і відрізняються лише числовим множником, тобто,.
У завданнях (6.1-6.3) вектори і задані своїми координатами в деякому базисі G. Довести, що система також є базисом і знайти координати вектора в цьому базисі.
У завданнях (6.4) і (6.5) вектори і задані своїми координатами в деякому базисі. Потрібно довести, що системи векторів і також є базисами. Знайти матрицю переходу від базису G до базису.
Знайти ортонормованій базис з власних векторів і матрицю в цьому базисі для лінійного оператора, заданого в деякому ортонормированном базисі матрицею А (шуканий базис визначено неоднозначно):