2.5 Компактні безлічі
261. В просторі R 2 привести приклад безлічі M
володіє наступними властивостями: а) M - компактно;
б) M - предкомпактно;
в) M - предкомпактно, але не компактно; г) M - обмежена, але не компактно;
д) M - замкнуто, але не компактно.
262. Довести, що безліч x n (t) = sin nt (n 2 N) обмежена і замкнуто в просторі L 2 [; ]. але не предкомпактно.
263. Привести приклад замкнутого обмеженого безлічі в `2. але не є компактом.
264. Довести, що в R будь-замкнутий обмежене безліч компактно.
265. Розглянути в C [0; 1] безліч M. що складається з функцій
x (t) = kt + b. де 0 k; b 1. Нехай "> 0 - довільно.
Побудувати для M кінцеву "-мережу.
266. Довести, що будь-який предкомпактное безліч в `2 ніде не щільно в` 2.
267. Довести, що об'єднання кінцевого числа предкомпактов є предкомпакт.
268. Довести, що об'єднання кінцевого числа компактів є компакт.
269. Довести, що перетин будь-якої сукупності
Глава 2. Нормовані простору і функціонали
предкомпактов є предкомпакт.
270. Довести, що перетин будь-якої сукупності компактів є компакт.
271. Довести, що множина M всіх безперервних на [0; 1]
функцій таких, що jx (t) j 1 обмежена і замкнуто в C [0; 1],
проте не предкомпактно.
272. Побудувати приклад обмеженого відкритого безлічі на прямий, покритого інтервалами так, що з цього покриття можна виділити кінцевого покриття.
273. Чи є компактним в просторі `2 безліч
274. Нехай M - компактне безліч в банаховому просторі
X. Довести, що для будь-якого x 2 X знайдеться таке y 2 M. що
275. Довести, що замикання предкомпактного безлічі компактно.
276. Довести, що будь-яке підмножина компактного безлічі предкомпактно.
277. Довести, що в скінченномірному лінійному нормованому просторі всяке обмежене безліч предкомпактно.
278. Нехай M - рівномірно обмежена безліч функцій в
просторі C [a; b]. Довести, що множина N функцій виду
2.5. компактні безлічі
де x (t) 2 M. предкомпактно.
279. Привести приклад множини неперервно диференційовних на [0,1] функцій, предкомпактного в просторі C [0; 1]. але не предкомпактного в просторі C 1 [0; 1].
У завданнях 280 - 286 з'ясувати предкомпактно задане безліч функцій в просторі C [0; 1]:
280. x n (t) = t n; n 2 N.
281. x n (t) = sin nt; n 2 N.
282. x n (t) = sin (t + n); n 2 N.
285. x (t) = arctg t; 2 R.
286. x (t) = e t; 2 R; 0.
287. Довести, що множина M елементів x = (x 1; x 2;.) З простору c або c 0 предкомпактно тоді і тільки тоді, коли
воно обмежене і lim x n існує рівномірно щодо
x 2 M. тобто для будь-якого "> 0 знайдеться таке N = N ("). що при всіх n> N для будь-якого x = (x 1; x 2;.) 2 M виконується нерівність
jx n lim x n j <":
288. Довести, що множина M елементів
x = (x 1; x 2;.) 2 `p (p 1) предкомпактно тоді і тільки
Глава 2. Нормовані простору і функціонали
тоді, коли воно обмежене і
існує рівномірно щодо x 2 M. тобто для будь-якого
"> 0 знайдеться таке N = N ("). що при всіх n> N для будь-якого x = (x 1; x 2;.) 2 M виконується нерівність
289. Довести, що паралелепіпед
fx 2 `2; x = (x 1; x 2;.). jx n j 1 = ng
є компактним безліччю в просторі `2.
290. Показати, що відображення f з завдання 239 не приймає на
M найменшого значення. Чи не суперечить це теоремі Вейерштрасса?
2.6 Теорема Хана-Банаха
У таких завданнях потрібно знайти продовження функціоналу f з підпростору L R n на весь простір R n зі збереженням норми
291. L = f (x; y) 2 R 2. x = yg; f L = 2x.
292. L = f (x; y) 2 R 2. 2x = yg; f L = x.
293. L = f (x; y) 2 R 2. x = yg; f L = x.