Це рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного x. так і на всій комплексній площині. згідно ознакою Д'Аламбера. Послідовність знаменників утворює послідовність A007680 в OEIS.
- Функція помилок на нескінченності дорівнює одиниці; однак це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, так як:
- При розгляді функції помилок в комплексній площині точка z = ∞ буде для неї істотно особливою.
- Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
- Зворотна функція помилок є ряд
Тому ряд можна представити в наступному вигляді (зауважимо, що дроби скорочені):
Послідовності числителей і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 в OEIS; послідовність числителей до скорочення - A002067 в OEIS.
Додаткова функція помилок
Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються в рішенні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами описаними функцією Хевісайда ( «сходинкою»).
У системах цифрового оптичного комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.
При великих x корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:
Хоча для будь-якого кінцевого x цей ряд розходиться, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення erfc x \, x> з хорошою точністю, в той час як ряд Тейлора сходиться дуже повільно.
Інша наближення дається формулою
Зворотна функція до Φ. відома як нормальна квантільная функція, іноді позначається probit> і виражається через нормальну функцію помилок якНормальне інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірностей і математичній статистиці, в той час як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.
Функція помилок є окремим випадком функції Миттаг-Леффлера. а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):
Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризоване неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції,
Узагальнені функції помилок
Визначними окремими випадками є:
Після поділу на n. все E n> з непарними n виглядають схоже (але не ідентично). Все E n> з парними n теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на n. . Всі узагальнені функції помилок з n> 0 виглядають схоже на напівосі x> 0.
На піввісь x> 0 всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:
Отже, ми можемо висловити функцію помилок через гамма-функцію:
Ітерованих інтеграли додаткової функції помилок
Ітерованих інтеграли додаткової функції помилок визначаються як
i n erfc z = ∫ z ∞ i n - 1 erfc ζ d ζ. \, \ Operatorname \, z = \ int \ limits _ ^ i ^ \, \ operatorname \, \ zeta \, d \ zeta.>
Їх можна розкласти в ряд:
звідки йдуть властивості симетрії
У мові Java стандартна бібліотека математичних функцій java.lang.Math не містить [1] функцію помилок. Клас Erf можна знайти в пакеті org.apache.commons.math.special з не стандартної бібліотеки, що поставляється [2] Apache Software Foundation.
У мові Python функція помилок доступна [3] зі стандартної бібліотеки math. починаючи з версії 2.7. Також функція помилок, додаткова функція помилок і багато інших спеціальні функції визначені в модулі Special проекту SciPy [6].
У мові Erlang функція помилок і додаткова функція помилок доступні з стандартного модуля math [4].