функція помилок

Це рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного x. так і на всій комплексній площині. згідно ознакою Д'Аламбера. Послідовність знаменників утворює послідовність A007680 в OEIS.

  • Функція помилок на нескінченності дорівнює одиниці; однак це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, так як:
  • При розгляді функції помилок в комплексній площині точка z = ∞ буде для неї істотно особливою.
  • Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
d d x erf x = 2 π e - x 2.> \, \ operatorname \, x = >> \, e ^>.>
  • Зворотна функція помилок є ряд
erf - 1 x = Σ k = 0 ∞ c k 2 k + 1 (π 2 x) 2 k + 1. ^ \, x = \ sum _ ^ >> \ left (>> x \ right) ^,>

Тому ряд можна представити в наступному вигляді (зауважимо, що дроби скорочені):

Послідовності числителей і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 в OEIS; послідовність числителей до скорочення - A002067 в OEIS.

функція помилок

Додаткова функція помилок

Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються в рішенні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами описаними функцією Хевісайда ( «сходинкою»).

У системах цифрового оптичного комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.

При великих x корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:

Хоча для будь-якого кінцевого x цей ряд розходиться, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення erfc x \, x> з хорошою точністю, в той час як ряд Тейлора сходиться дуже повільно.

Інша наближення дається формулою

Зворотна функція до Φ. відома як нормальна квантільная функція, іноді позначається probit> і виражається через нормальну функцію помилок як

Нормальне інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірностей і математичній статистиці, в той час як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Миттаг-Леффлера. а також може бути представлена ​​як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризоване неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції,

Узагальнені функції помилок

функція помилок

Визначними окремими випадками є:

Після поділу на n. все E n> з непарними n виглядають схоже (але не ідентично). Все E n> з парними n теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на n. . Всі узагальнені функції помилок з n> 0 виглядають схоже на напівосі x> 0.

На піввісь x> 0 всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

Отже, ми можемо висловити функцію помилок через гамма-функцію:

Ітерованих інтеграли додаткової функції помилок

Ітерованих інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

i n erfc z = ∫ z ∞ i n - 1 erfc ζ d ζ. \, \ Operatorname \, z = \ int \ limits _ ^ i ^ \, \ operatorname \, \ zeta \, d \ zeta.>

Їх можна розкласти в ряд:

звідки йдуть властивості симетрії

У мові Java стандартна бібліотека математичних функцій java.lang.Math не містить [1] функцію помилок. Клас Erf можна знайти в пакеті org.apache.commons.math.special з не стандартної бібліотеки, що поставляється [2] Apache Software Foundation.

У мові Python функція помилок доступна [3] зі стандартної бібліотеки math. починаючи з версії 2.7. Також функція помилок, додаткова функція помилок і багато інших спеціальні функції визначені в модулі Special проекту SciPy [6].

У мові Erlang функція помилок і додаткова функція помилок доступні з стандартного модуля math [4].

Схожі статті