Формули логіки висловлювань.
Основним завданням логіки висловлювань є вивчення логічних форм складних висловлювань за допомогою логічних операцій. Поняття логічної форми складного висловлювання уточнюється за допомогою введеного нижче поняття формули логіки висловлювань.
Для позначення висловлювань будемо використовувати малі літери кінця латинського алфавіту (можливо, з індексами). При цьому, яке висловлювання (істинне або помилкове) буде позначати та чи інша буква, припускаємо невідомим. фактично літери
гратимуть роль змінних, що приймають як значення істинності значення «істина» і «брехня». Зазвичай ці змінні називаються пропозіціональнимі змінними, будемо також називати їх елементарними формулами або атомами.
Для побудови формул логіки висловлювань крім символів (1) використовуються знаки логічних операцій
а також символи, що забезпечують можливість однозначного прочитання формул, - ліва і права дужки:
Поняття формули логіки висловлювань визначимо наступним чином:
1) елементарні формули (атоми) суть формули логіки висловлювань;
2) якщо А і В - формули, то теж є формулами логіки висловлювань;
3) тільки ті вирази є формулами логіки висловлювань, для яких це випливає з 1) і 2).
Визначення формули містить перерахування правил освіти формул. Згідно з визначенням, будь-яка формула логіки висловлювань або є атом, або утворюється з атомів в результаті послідовного застосування правила 2). Наприклад, вирази
є формулами логіки висловлювань.
Позначати довільні формули логіки висловлювань будемо великими буквами латинського алфавіту (можливо, з індексами):
При цьому не виключено, що одна і та ж формула може бути позначена різними буквами.
Зауважимо, що ніякої атом не має виду Такий вигляд мають складні формули.
У першому розділі замість «формула логіки висловлювань» часто будемо говорити просто «формула» там, де це не може викликати непорозумінь.
Число дужок в формулах можна зменшити, ввівши угоди: 1) в складній формулі будемо опускати зовнішню пару дужок. 2) впорядкуємо знаки логічних операцій по «старшинству»:. У цьому списку знак має найбільшу область дії, а знак - найменшу. Під областю дії знака операції розуміються ті частини формули, до яких «застосовується» (на які «діє») розглядається входження цього знака. Домовимося опускати у всякій формулі ті пари дужок, які можна відновити, з огляду на «порядок старшинства». При відновленні дужок спочатку розставляються всі дужки, які стосуються усіх входженням знака (при цьому ми просуваємося зліва направо), потім до всіх входженням знака і т. Д.
Приклад. У формулі дужки відновлюються наступними кроками:
Не всяка формула може бути записана без дужок. Наприклад, в формулах подальше виключення дужок неможливо.