Припустимо, що функції і мають похідні разом зі своїми похідними до n-го порядку включно. Застосовуючи правило диференціювання добутку двох функцій, отримаємо
Порівняємо ці вирази зі ступенями бинома:
Впадає в очі правило відповідності: щоб отримати формулу для похідної 1-го, 2-го або 3-го порядків від добутку функцій і, потрібно замінити ступеня і в виразі для (де n = 1,2,3) похідними відповідних порядків. Крім того, нульові ступеня величин і слід замінити похідними нульового порядку, маючи на увазі під ними функції і:
.
Узагальнюючи це правило на випадок похідною довільного порядку n. отримаємо формулу Лейбніца.
де - біноміальні коефіцієнти:
Суворе доказ формули Лейбніца грунтується на методі математичної індукції.