Якщо проводиться кілька випробувань, причому ймовірність події А в кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними щодо події А.
У різних незалежних випробуваннях подія А може мати або різні ймовірності, або одну і ту ж ймовірність. Будемо далі розглядати лише такі незалежні випробування, в яких подія А має одну і ту ж ймовірність.
Нижче скористаємося поняттям складної події, розуміючи під ним суміщення декількох окремих подій, які називають простими.
Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з'явитися або не з'явитися. Домовимося вважати, що ймовірність події A в кожному випробуванні одна і та ж, а саме дорівнює р. Отже, ймовірність ненастання події А в кожному випробуванні також є сталою і дорівнює q = 1 - p.
Поставимо перед собою задачу обчислити вірогідність того, що при n випробуваннях подія А здійсниться рівно k раз і, отже, не здійсниться n - k раз. Важливо підкреслити, що не потрібно, щоб подія А повторилося рівно k раз в певній послідовності.
Наприклад, якщо мова йде про появу події А три рази в чотирьох випробуваннях, то можливі наступні складні події: ААА, ААА, ААА, ААА. Запис ААА означає, що в першому, другому і третьому випробуваннях подія А настало, а в четвертому випробуванні воно не з'явилося, тобто настало протилежне подія А; відповідний сенс мають і інші записи.
Шукану ймовірність позначимо Рп (k). Наприклад, символ Р5 (3) означає ймовірність того, що в п'яти випробуваннях подія з'явиться рівно 3 рази і, отже, не наступить 2 рази.
Поставлену задачу можна вирішити за допомогою так званої формули Бернуллі.
Висновок формули Бернуллі. Імовірність одного складного події, що складається в тому, що в п випробуваннях подія А настане k раз і не настане п - k раз, по теоремі множення ймовірностей незалежних подій дорівнює p k q n - k. Таких складних подій може бути стільки, скільки можна скласти сполучень з п елементів по k елементів, тобто Сn k.
Так як ці складні події несумісні. то по теоремі додавання ймовірностей несумісних подій шукана ймовірність дорівнює сумі ймовірностей всіх можливих складних подій. Оскільки ж ймовірності всіх цих складних подій однакові, то шукана ймовірність (появи k раз події А в п випробуваннях) дорівнює ймовірності одного складного події, помноженої на їх число:
Приклад 1. Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановлену норму, дорівнює р = 0,75. Знайти ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.
Рішення. Імовірність нормального витрати електроенергії протягом кожних з 6 діб постійна і дорівнює р = 0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії в кожну добу також є сталою і дорівнює q = 1 - р = 1 - 0,75 = 0,25.
Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює: