Гіперболою називається геометричне місце точок. для яких раз-ність відстаней від двох фіксованих точок площини, які називаються фо-кусамі, є постійна величина; зазначена різниця береться за абсо-лютні значенням і позначається, як правило, через 2а. Фокуси гіперболи позначають буквами F1 і F2, відстань між ними - через 2с. За визна-лення гіперболи 2А2-у2 = а2 або -х2-у2 = а2.
Число. де а - відстань від центру гіперболи до її вершини, називається ексцен-трісітетом гіперболи. Очевидно. для будь-якої гіперболи> 1. Якщо М (х; у) - довільна точка гіперболи, то відрізки Р1М і F2M (див. рис. 18) називаються вають фокальними радіусами точки М. Фокальні радіуси точок правої галузі гіперболи обчислюються за формулами
фокальні радіуси точок лівої галузі - за формулами
Якщо гіпербола задана рівнянням (1), то прямі, що визначаються рівнян-нениями
називаються її директрисами (див. рис. 18). Якщо гіпербола задана уравне-ням (2), то директриси визначаються рівняннями y = x =
Кожна директриса має наступну властивість: якщо r - відстань від довільної точки гіперболи до деякого фокуса. d - відстань від тієї ж точки до односторонньої з цим фокусом директриси, то ставлення є постійна величина, рівна ексцентриситету гіперболи: =.
616. Скласти рівняння гіперболи. фокуси якої располо-дружини на осі абсцис, симетрично щодо початку коорди-нат, знаючи, крім того, що:
1) її осі 2а = 10 і 2b = 8;
2) відстань між фокусами 2с = 10 і вісь 2b = 8;
3) відстань між фокусами 2с = 6 і ексцентриситет ε =;
4) вісь 2a = 16 і ексцентриситет ε =;
5) рівняння асимптот
і відстань між фокусами 2с - 20;
6) відстань між директрисами дорівнює 22 - і відстань між фокусами 2с = 26;
7) відстань між директрисами одно і вісь 2b = 6;
8) відстань між директрисами одно і ексцентриситет ε =;
9) рівняння асимптот y = ± і відстань між директрисами дорівнює 12 516. Скласти рівняння гіперболи. фокуси якої располо-дружини на осі ординат, симетрично щодо початку коорди-нат, знаючи, крім того, що:
1) її піввісь а = 6, b = 18 (буквою а ми позначаємо піввісь гіперболи. Розташовану на осі абсцис);
2) відстань між фокусами 2с = 10 і ексцентриситет
3) рівняння асимптот
і відстань між вершинами дорівнює 48;
4) відстань між директрисами одно і ексцентрісі-тет ε =;
5) рівняння асимптот y = ± і відстань між директрисами одно.
517. Визначити півосі а і b кожної з наступних гіпербол:
518. Дана гіпербола 16х 2 - 9У 2 = 144. Знайти: 1) півосі а і b; 2) фокуси;
3) ексцентриситет; 4) рівняння асимптот; 5) урав-вати директрис.
619. Дана гіпербола 16х 2 - 9У 2 = -144. Знайти: 1) півосі а і b; 2) фокуси; 3) ексцентриситет; 4) рівняння асимптот; 5) урав-вати директрис.
520. Обчислити площу трикутника, утвореного асімпто-тами гіперболи
521. Встановити, які лінії визначаються наступними рівнян-нениями:
Зобразити ці лінії на кресленні.
Скласти рівняння прямих, на яких лежать фокальні радіуси точки M1.
523. Переконавшись, що точка М1 (- 5;) лежить на гіперболі
визначити фокальні радіуси точки M1.
524. Ексцентриситет гіперболи ε = 2, фокальний радіус їй точки М. проведений з деякого фокуса, дорівнює 16. Обчислити відстань від точки М до односторонньої з цим фокусом дирек-Тріс.
525. Ексцентриситет гіперболи ε = 3, відстань від точки М гіперболи до директриси дорівнює 4. Обчислити відстань від точки М до фокуса, одностороннього з цією директоркою.
526. Ексцентриситет гіперболи ε = 2, центр її лежить на початку координат. один з фокусів F (12; 0). Обчислити відстань від точки М1 гіперболи з абсцисою, що дорівнює 13, до директриси, відповідної заданому фокусу.
527. Ексцентриситет гіперболи ε =. центр її лежить на початку координат. одна з директрис дана рівнянням х = - 8. Вичі-злити відстань від точки М1 гіперболи з абсцисою, що дорівнює 10, до фокусу, відповідного заданої директрисі.
528. Визначити точки гіперболи. відстань яких до правого фокуса одно 4,5.
529. Визначити точки гіперболи. відстань кото-яких до лівого фокуса дорівнює 7.
530. Через лівий фокус гіперболи проведений пер-пендікуляр до її осі, що містить вершини. Визначити відстані від фокусів до точок перетину цього перпендикуляра з гіпер-Болой.
531. Користуючись одним циркулем, побудувати фокуси гіперболи (вважаючи, що осі координат зображені і масштабна одиниця задана).
532. Скласти рівняння гіперболи. фокуси якої лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо дані:
2) точка M1 (- 5; 3) гіперболи і ексцентриситет ε =;
3) точка M1 (; -1) гіперболи і рівняння асимптот y = ;
4) точка M1 (-3;) гіперболи і рівняння директрис y = ;
5) рівняння асимптот y = і рівняння директрис x = ;
533. Визначити ексцентриситет рівносторонній гіперболи.
534. Визначити ексцентриситет гіперболи, якщо відрізок між її вершинами видно з фокусів сполученої гіперболи під кутом в 60 °.
535. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса
Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентрик-ситет ε = 2.
536. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать в вершинах еліпса = 1, а директриси проходять через фокуси цього еліпса.
537. Довести, що відстань від фокуса гіперболи
до її асимптоти одно b.
538. Довести, що твір відстаней від будь-якої точки гіперболи
до двох її асимптот є величина постійна, рівна.
539. Довести, що площа паралелограма, обмеженого асимптотами гіперболи
і прямими, проведеними через будь-яку її точку паралельно асимптотам, є величина постійна, рівна.
540. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її піввісь а й b, центр С (х0; у0) і фокуси розташовані на прямій:
1) паралельної осі Ох;
2) паралельної осі Оу.
541. Установити, що кожне з наступних рівнянь визна-ляет гіперболу. і знайти координати її центру С, півосі, ексцентриситет, рівняння асимптот і рівняння директрис:
1) 16х 2 - 9У 9 - 64х - 54у-161 = 0;
2) 9х 2 - 16У 2 + 90х + 32У - 367 = 0;
3) 16х 2 - 9У 2 - 64х-18у + 199 = 0.
542. Встановити, які лінії визначаються наступними рівняннями:
Зобразити ці лінії на кресленні.
543. Скласти рівняння гіперболи, знаючи, що:
1) відстань між її вершинами дорівнює 24 і фокуси суть F1 (- 10; 2), F2 (16; 2);
2) фокуси суть F1 (3, 4), F2 (- 3; - 4) і відстань між директрисами дорівнює 3,6;
3) кут між асимптотами дорівнює 90 ° і фокуси суть F1 (4; - 4), F2 (-2; 2)
544. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцен-трісітет ε =. фокус F (5; 0) і рівняння відповідної ді-ректріси 5х - 16 = 0.
545. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцентриситет ε =. фокус F (0; 13) і рівняння відповідної директриси 13У-144 = 0.
546. Точка А (- 3; - 5) лежить на гіперболі, фокус якої F (- 2; - 3), а відповідна директриса дана рівнянням х + 1 = 0. Скласти рівняння цієї гіперболи.
547. Скласти рівняння гіперболи, якщо відомі її ексцен-трісітет ε =. фокус F (2; -3) і рівняння відповідної директриси 3x-y + 3 + 0
548. Точка М1 (1; -2) лежить на гіперболі, фокус якої F (-2; 2), а відповідна директриса дана рівнянням 2х-у-1 = 0. Скласти рівняння цієї гіперболи.
549. Дано рівняння рівносторонній гіперболи х 2 -у 2 = а 2. Знайти її рівняння в новій системі, прийнявши за осі координат її асимптоти.
550. Встановивши, що кожне з наступних рівнянь визна-ляет гіперболу. знайти для кожної з них центр, піввісь, уравне-ня асимптот і побудувати їх на кресленні:
1) ху = 18, 2) 2ху -9 = 0, 3) 2ху + 25 = 0.
551. Знайти точки перетину прямої 2х-у-10 = 0 і гіперболи -
552. Знайти точки перетину прямої 4х-3у-16 = 0 і гіперболи-
553. Знайти точки перетину прямої 2х-у + 1 = 0 і гіперболи -
554. В таких випадках визначити, як розташована пряма від-носительно гіперболи - перетинає чи, стосується чи проходить поза нею:
555. Визначити, при яких значеннях т пряма у = 5х + m:
1) перетинає гіперболу. 2) стосується її;
3) проходить поза цією гіперболи.
556. Вивести умову, за якої пряма у = KХ + m стосується гіперболи.
557. Скласти рівняння дотичної до гіперболи.
558. Довести, що дотичні до гіперболи, проведені в кінцях одного і того ж діаметру, паралельні.
559. Скласти рівняння дотичних до гіперболи,
перпендикулярних до прямої 4х + 3у -7 = 0.
560. Скласти рівняння дотичних до гіперболи,
паралельних прямої 10х -3у + 9 = 0.
561. Провести дотичні до гіперболи. паралельно прямий
і обчислити відстань d між ними.
562. На гіперболі. знайти точку М1; найближчу до прямої
і обчислити відстань d від точки M1 до цієї прямої.
563. Скласти рівняння дотичних до гіперболи х 2 -у 2 = 16, проведених з точки А (-1; -7).
564. З точки С (1; -10) проведені дотичні до гіперболи. Скласти рівняння хорди, що з'єднує точки дотику.
565. З точки Р (1; -5) проведені дотичні до гіперболи.
Обчислити відстань d від точки Р до хорди гіперболи, соеди-няющих точки дотику.
566. Гіпербола проходить через точку А (3) і стосується прямої 9х + 2у -15 = 0. Скласти рівняння цієї гіперболи за умови, що її осі збігаються з осями координат.
567. Скласти рівняння гіперболи, що стосується двох прямих: 5х - 6У -16 = 0, 13х -10у -48 = 0, за умови, що еe осі збігаються з осями координат.
568. Переконавшись, що точки перетину еліпса. і гіперболи є вершинами прямокутника,
скласти рівняння його сторін.
569. Дана гіпербола і якась її касатель-ва; Р - точка перетину дотичної з віссю Ox. Q - проекція точки дотику на ту ж вісь. Довести, що OP -OQ = a 2.
570. Довести, що фокуси гіперболи розташовані по різні боки від будь-якої її дотичної.
571. Довести, що твір відстаней від фокусів до будь дотичній до гіперболи. є величина постійна, рівна b 2.
572. Пряма 2х - у - 4 = 0 стосується гіперболи, фокуси якої знаходяться в точках F1 (- 3; 0) і F2 (3; 0). Скласти рівняння цієї гіперболи.
573. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої располо-дружини на осі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо відомі рівняння дотичної до гіперболи 15х + 16У - 36 = 0, і відстань між eе вершинами 2а = 8.
574. Довести, що пряма, яка стосується гіперболи в деякій точці М. складає рівні кути з фокальними радіусами F1M. F2M. і проходить всередині кута F1MF2.
575. З правого фокуса гіперболи
під кутом α (π ≤ α ≤ 3/2 π) до осі Ох спрямований промінь світла. Відомому але, що tg α = 2. Дійшовши до гіперболи. промінь від неї відбився. Скласти рівняння прямої, на якій лежить відбитий промінь.
576. Довести, що еліпс і гіпербола, що мають спільні фокуси, перетинаються під прямим кутом.
577. Коефіцієнт рівномірного стиснення площині до осі Ох дорівнює. Визначити рівняння лінії, в яку при цьому стисненні перетворюється гіпербола. У Казані. Див. Задачу 509.
578. Коефіцієнт рівномірного стиснення площині до осі Оу дорівнює -, Визначити рівняння лінії, в яку при цьому стисненні перетворюється гіпербола
579. Знайти рівняння лінії, в яку перетворюється гіпер-бола х2-у2 = 9 при двох послідовних рівномірних сжатіях площині до координатним осях, якщо коефіцієнти рівномірного стиснення площині до осей Ох і Оу відповідно рівні і.
580. Визначити коефіцієнт q рівномірного стиснення площині до осі Ох, при якому гіпербола перетворюється в гіперболу.
581. Визначити коефіцієнт q рівномірного стиснення площині до осі Оу, при якому гіпербола перетворюється в гіперболу.
582. Визначити коефіцієнти ql і q2 двох послідовних рівномірних стиснень площині до осей Ох і Оу. при яких гіпербола перетворюється в гіперболу.