Перевірка САУ на стійкість за методом Гурвіца
1) Передавальна функція САУ в замкнутому стані:
Формулювання крітеріяГурвіца:
Для стійкості САУ необхідно і достатньо, щоб при все діагональні мінори визначника Гурвіца були позитивними.
2) Знайдемо характеристичне рівняння заданої системи
Прирівняємо до нуля знаменник передавальної функції:
Позначимо коефіцієнти рівняння і знайдемо їх значення:
Характеристичне рівняння замкнутої набуде вигляду:
3) Запишемо визначник Гурвіца:
Оскільки , То робимо висновок, що задана система нестійка.
4) Визначимо вплив параметрів системи на її стійкість.
Розрахуємо граничні значення параметрів системи і:
Для цього запишемо умова знаходження заданої САУ на кордоні стійкості
Висловимо шукане значення:
Візьмемо в якості невідомого параметр і запишемо умову кордону стійкості:
Розкриємо дужки і вирішимо вийшло квадратне рівняння
(В лабораторній роботі ми використовували)
Для визначення впливу цього параметра на стійкість заданої САУ необхідно додатково досліджувати стійкість системи при зменшенні і збільшенні цього параметра щодо його граничних значень.
Перевірка САУ на стійкість за критерієм Найквіста
Формулювання критерію стійкості Найквіста: якщо розімкнена система стійка, то для стійкості замкнутої системи необхідно і достатньо, щоб АФЧХ розімкнутої системи при зміні ω від нуля до ∞, неохоплювала точку з координатами (-1; i0).
АФЧХ розімкнутої системи має вигляд:
По виду залежності можна сказати. Що разомкнутая система нестійка, а отже і замкнута теж.
3. Дослідна перевірка результатів.
3.1) Для заданої САУ зняти графік перехідної функції і по її виду визначити стійкість системи.
Структурна схема із заданими параметрами має вигляд (у програмі MATCAD):
Перехідна характеристика заданої САУ має наступний вигляд:
3.2) Дослідження впливу коефіцієнта передачі на стійкість системи: визначити (досвідченим шляхом) граничне значення коефіцієнта передачі і знайти області стійкості (нестійкості). Зняти графіки перехідних функцій стійкого і нестійкого режимів роботи і межі стійкості.
Змінимо значення одного з заданих коефіцієнтів: нехай, тоді і перехідна характеристика буде мати вигляд:
Нехай, тоді й перехідна характеристика буде мати наступний вигляд:
Підбираючи До таких же чином, знаходимо, що дорівнює 1.15, при цьому граничний коефіцієнт передачі замкнутої системи дорівнює:
При такому коефіцієнті передачі замкнутої системи перехідна характеристика має вигляд:
Робимо висновок, що САУ знаходиться на межі стійкості і область стійкості.
3.3) Виставити на моделі задане значення коефіцієнта передачі і досліджувати вплив постійної часу на стійкість системи: визначити граничні значення постійної часу і знайти області стійкості (нестійкості). Зняти графіки перехідних функцій стійкого і нестійкого режимів роботи і меж стійкості.
При заданому значенні постійної часу перехідна характеристика має вигляд:
Змінюємо значення в більшу і в меншу сторони і знімаємо перехідні характеристики:
Нехай одно 0.15, тоді
Нехай значення дорівнює 0.055, тоді
система знаходиться на межі стійкості, отже одно 0.057
Якщо взяти значення Т менше, то перехідна характеристика буде стійка, це означає, що область стійкості. Нехай Т = 0.03.
Графік перехідної характеристики при цьому буде мати вигляд:
Перехідна характеристика стійка, значить область стійкості вказана вірно.
Потрібно відзначити, що існує ще одна область стійкості отримана теоретично, вона запишеться так:.
3.4) Зняти частотні характеристики А (ω) і φ (ω) для заданої САУ в розімкнутому стані і по ним перевірити стійкість системи за критерієм Найквіста. При знятті частотних характеристик як обов'язкових взяти частоти сполучення ланок.
Поставимо на вхід розімкнутої системи джерело гармонійного сигналу, при цьому структурна схема набуде вигляду:
Змінюючи частоту джерела ω знімаємо залежності А (ω) і φ (ω), дані заносимо в таблицю:
Частоти сполучення ланок входять в задану САУ рівні
