Приклад 1 -241. Встановити, що кожне задане рівняння: 1); 2); 3) визначає коло. Знайти координати центру і радіус для кожного кола.
1). Перепишемо рівняння кола:. Значить: і = 4.
2). Перепишемо рівняння кола:. Значить: і = 4.
3). Перепишемо рівняння кола:. Значить: і = 2.
Відповідь: 1) і = 4; 2) і = 4; 3) і = 2.
Приклад 2 -249. Встановити, що кожне із заданих рівнянь а). і в). визначають еліпс. Знайти його центр. піввісь, і рівняння директрис для кожного з них.
1). Перепишемо заданий уравненіеа). . або - це канонічне рівняння еліпса з центром. Напівосі еліпса: = 3,. Обчислимо: = - = 4. Обчислимо ексцентриситет: = =. Обчислимо параметр директриси: = =. Рівняння директрис. = -. . = Або. і. .
2). Перепишемо задане рівняння). . або - це канонічне рівняння еліпса з центром. Напівосі еліпса: = 4,. фокуси розташовані на осі. Обчислимо: = - = 4. Обчислимо ексцентриситет: = =. Обчислимо параметр директриси: = = 8. Рівняння директрис. = -8,. = 8 або. і. .
Відповідь: а): центр; піввісь: = 3,; директриси. . . ;
в). центр; піввісь: = 4,; директриси. . . .
Приклад 3 -266. Задано рівняння лінії другого порядку:. Показати, що лінія є гіпербола, записати її канонічне рівняння. Знайти: а) піввісь, б) координати фокусів, в) ексцентриситет, г) рівняння директрис і асимптот.
1). Перепишемо рівняння: - це канонічне рівняння гіперболи з фокусами, розташованими на осі.
2). Напівосі гіперболи: = 4, = 3. Обчислимо: = + = 25. Це означає: = - лівий фокус, = - правий фокус. Обчислимо ексцентриситет: = =. Обчислимо параметр директриси: = =. Рівняння директрис. = -. . =. Рівняння асимптот виразом: = ± = ±.
Відповідь: а) рівняння гіперболи. = 4, = 3; б) фокуси =. =; в) ексцентриситет =; г) директриси. = -. . =. асимптоти: = ±.
Приклад 4 -269 а). Задано рівняння лінії другого порядку. Показати, що лінія є гіпербола, знайти її центр і записати її канонічне рівняння. Знайти: піввісь, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис і асимптот.
1). Перепишемо рівняння: - це канонічне рівняння гіперболи з фокусами, розташованими на прямій лінії = 3, з центром в точці (2, -3).
2). Скористаємося паралельним переносом системи координат:. . Тоді рівняння приймає канонічний вид, для якого все величини можна записати, використовуючи найпростіші формули. Напівосі гіперболи: = 3, = 4. Обчислимо: = + = 25. Це означає: = - лівий фокус, = - правий фокус. Обчислимо ексцентриситет: = =. Обчислимо параметр директриси: = =. Рівняння директрис. = -. . =. Рівняння асимптот виразом: = ± = ±.
3). З огляду на. . запишемо рівняння для старої системи координат: для директрис. =. . = І для асимптот +3 = ±. Фокуси: =. =.
Відповідь: рівняння:. = 3, = 4; фокуси =. =; ексцентриситет =; директриси. =. . =. асимптоти: +3 = ±.
Приклад 4 -269 в). Задано рівняння лінії другого порядку. Показати, що лінія є гіпербола, знайти її центр і записати її канонічне рівняння. Знайти: піввісь, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис і асимптот.
1). Перепишемо рівняння: - це канонічне рівняння гіперболи з фокусами, розташованими на прямій лінії = 2, з центром в точці (2, -1).
2). Скористаємося паралельним переносом системи координат:. . Тоді рівняння приймає канонічний вид, для якого все величини можна записати, використовуючи найпростіші формули. Напівосі гіперболи: = 4, = 3. Обчислимо: = + = 25. Це означає: = - нижній фокус, = - верхній фокус. Обчислимо ексцентриситет: = =. Обчислимо параметр директриси: = =. Рівняння директрис. = -. . =. Рівняння асимптот виразом: = ± = ±.
3). З огляду на. . запишемо рівняння для старої системи координат: для директрис. =. . = І для асимптот +1 = ±. Фокуси: =. =.
Відповідь: рівняння:. = 4, = 3; фокуси =. =; ексцентриситет =; директриси. =. . =. асимптоти: +3 = ±.
Приклад 5 -286. Написати рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо відомо, що: 1) парабола розташована в лівій півплощині симетрично осі і =; 2) парабола розташована симетрично осі і проходить через точку (4, -8); 3) фокус параболи розташований в точці (0, -3).
1). З симетрії щодо осі слід, що рівняння має вигляд:. Використовуючи параметр, отримуємо дані рівняння:.
2). З симетрії щодо осі слід, що рівняння має вигляд:. Використовуючи точку. отримуємо:. отримуємо = -1. Отримано рівняння:.
3). З виразу для фокуса маємо: парабола симетрична осі. Це означає, що вираз для параболи:. Але (0, -3) =. звідки = -6. Отримано рівняння:.
Приклад 6 -288. Встановити, що рівняння: 1); 2); 3) визначають параболи. Знайти координати вершини і параметр для кожної параболи.
1). З рівняння: слід, що віссю параболи є вісь. Маємо параболу з параметром = 2, гілки параболи спрямовані вправо. Графік заданої параболи - це графік параболи. зміщений вправо на 2: маємо.
2). З рівняння: слід, що віссю параболи є вісь. Маємо параболу з параметром =. гілки параболи спрямовані вгору. Графік заданої параболи - це графік параболи. зміщений вправо на 1 і вгору на 3: маємо.
3). З рівняння: слід, що віссю параболи є вісь. Маємо параболу з параметром = 2, гілки параболи спрямовані вправо. Графік заданої параболи - це графік параболи. зміщений вліво на 1 і вгору на 2: маємо.
Відповідь: 1) = 2 і; 2) = і; 3) = 2 і.
1. Що таке коло, еліпс?
2. Що таке гіпербола?
3. Що таке парабола?
4. Що таке ексцентриситет кривої другого порядку?
5. Що таке директриса для кривої 2-го порядку?