Лекція 17. Площа плоскої квадрованою фігури
17.1. Поняття квадрованою плоскої фігури
П л о с к о ї ф і г у р о м будемо називати будь-обмежене безліч точок плос-
Безліч називається о г р а н і ч е н н и м, якщо існує коло, що містить всі точки цієї множини.
Для наближеного обчислення площі на практиці використовують, наприклад, палеткупрозрачную пластину або аркуш паперу, на який нанесена квадратна сітка. Накла-
дивая її на фігуру, підраховують число квадратів, що містяться в фігурі. Це число, помножене на площу одного квадрата, так само наближеному значенню площі фігури з недоліком. Щоб отримати наближене значення площі фігури з надлишком, вважають всі квадрати сітки, які мають з фігурою загальні точки. Взявши середнє арифмети-
Мал. 1: Наближене вимір площі за допомогою палетки.
чеський між цими значеннями, отримаємо наближене значення площі цієї фігури. Чим дрібніше квадратна сітка палетки, тим точніший результат можна отримати.
Постає питання: для яких плоских фігур можна узагальнити цей метод відшукання площі? Природно, треба визначити, що таке площа і квадрованою фігура.
Для введення поняття площі плоскої фігури вирушатимемо від спеціального приватного виду плоских фігур, так званих багатокутників.
Багатокутником будемо називати частина площині, обмежену простий замкнутої ламаною лінією, т. Е. Замкнутій кривій без самоперетинів, що складається з кінцевого числа прямолінійних ланок (відрізків), з'єднаних таким чином, що початок наступного відрізка збігається з кінцем попереднього, початок першого відрізка збігається з кінцем останнього. Точки цієї ламаної є граничними 1 точками багатокутника. Сукупність усіх граничних точок безлічі називається г р а н і ц е й цього безлічі.
Площа будь-якого багатокутника можна обчислити, розбивши його на непересічні трикутники (без спільних внутрішніх точок). З курсу середньої школи відомі такі формули обчислення площі трикутника.
1. Формула площі трикутника по стороні і висоті. Площа трикутника дорівнює половині твори довжини сторони трикутника на довжину проведеної до
1 Нагадаємо, що точку M називають граничною точкою множини A, якщо в будь-який -окрестності точки M знайдуться як точки, що належать множині A, так і не належать A.
Отже, fjP jg безліч площ вписаних в плоску фігуру багатокутників обмежена зверху (площею будь-якого описаного навколо фігури багатокутника), а fjQjg безліч площ описаних навколо фігури багатокутників обмежена знизу (площею будь-якого вписаного в фігуру багатокутника). як з-
Відомо 2. всяке непорожнє, обмежене зверху (знизу) безліч, має точну верхню (точну нижню) грань. Позначимо s = supfjP jg і назвемо це число в н у т р е н н е й
ï про щ а д ь ю фігури; число S = inf fjQjg назвемо відповідно в н і ш н е й п л о -
щ а д ь ю фігури.
Затвердження 17.1.1. Внутрішня площа фігури не більше зовнішньої площі:
s = supfjP jg inf fjQjg = S:
Доведення. Так як для будь-яких вписаних і описаних багатокутників P і Q, відповідних фігурі. справедливо нерівність (17.1), то будь-яка площа jQj є верхньою межею безлічі fjP jg. тоді
s = supfjP jg jQj 8 Q;
так як точна верхня грань безлічі це найменша з його верхніх граней. з
співвідношень (17.2) випливає, що s нижня межа безлічі fjQjg і s inf fjQjg, òàê
як точна нижня грань безлічі це найбільша з його нижніх граней. Таким чином, твердження доведено: s S.
Визначення 17.1 (Поняття площі по Жорданія 3). Плоска фігура називається до в а д р і р у е м о й (або має площу), якщо зовнішня площа S цієї фігури збігається з її внутрішньою площею s. При цьому число S = S = s називається площею фігури.
Приклад 17.1 (Неквадріруемая фігура). Розглянемо плоску фігуру:
= F (x; y). 0 x 1; 0 y 1 + D (x) g;
де D (x) функція Дирихле: D (x) = 1, якщо x число раціональне, і D (x) = 0, якщо xчісло ірраціональне.
Як видно з (17.3) у всіх точок фігури c раціональної абсциссой x ордината y 2 [0; 2], в той же час всі крапки фігури c ірраціональної абсциссой x мають ординату y 2 [0; 1]. Отже, точки з безлічі = f (x; y). 0 x 1; 1 y 2g є
граничними. Всі безліч граничних точок фігури (17.3) отме- чено синім кольором на малюнку. Серед цих точок є належать (ті, у яких x раціональне) і не належать
(Ті, у яких x ірраціональне); межа y = 0, очевидно, належить.
Неважко бачити, що максимальна площа вписаного в багатокутника дорівнює 1,
2 Семестр I, лекція 3.
3 Камілл Жордан французький математик (1838 1922).
і мінімальна площа описаного навколо багатокутника дорівнює 2, т. е. s () = 1,
S () = 2. Згідно з визначенням 17.1 фігура (17.3) не є квадрованою.
17.2. критерії квадрованою
Теорема 17.2.1. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого позитивного числа "можна було вказати такий описаний навколо фігури багатокутник Q і такий вписаний в фігуру багатокутник P. різниця jQj jP j площ яких була б менше". jQj jP j <" .
Доведення. Необхідність. Нехай фігура квадрованою, т. Е. S = S = S. Òàê êàê
то згідно з визначенням точної верхньої межі безлічі fjP jg для будь-якого числа "> 0 можна вказати такий вписаний в фігуру багатокутник P. площа якого отли- чає від s менше ніж на" = 2:
8 "> 0 9 P. jP j> s 2";
відповідно, згідно з визначенням точної нижньої межі безлічі fjQjg для того ж числа "> 0 можна вказати такий описаний навколо фігури багатокутник Q, площа якого відрізняється від S менше ніж на" = 2:
9 Q. jQj
Складаючи отримані нерівності, знайдемо (з урахуванням рівності s = S), ÷ òî
8 "> 0 9 P; Q; P; Q. jQj jP j 0 9 P; Q; P; Q. jQj jP j <":
З урахуванням того, що jP j s S jQj, маємо
8 "> 0 0 S s jQj jP j <":
В силу довільності "це означає, що S s = 0. Таким чином, фігура квадрованою. Теорема доведена.
Визначення 17.2. Будемо говорити, що межа @ плоскої фігури і м е е т п л о - щ а д ь. р а в н у ю н у л ю. якщо для будь-якого позитивного "можна вказати такий описаний навколо фігури багатокутник Q і такий вписаний в фігуру багатокутник P. різниця площ яких менше": jQj jP j <".
При цьому теорему 17.2.1 можна сформулювати наступним чином.
Теорема 17.2.2. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб е¼ межа @ мала площа, рівну нулю.
Якщо Q багатокутник, взятий разом з кордоном і містить плоску фігуру. а P багатокутник, що міститься в фігурі. взятий без кордону, то різниця множин Q n P являє собою многокутну фігуру, взяту разом з кордоном і містить всі точки кордону @ фігури. В силу властивості адитивності площі многоугоугольніка справедливо рівність jQ nP j = jQj jP j, тоді теорему 17.2.1 можна також сформулювати наступним чином.
Теорема 17.2.3. Для того щоб плоска фігура була квадрованою, необхідно і достатньо, щоб е¼ межа @ могла бути поміщена в багатокутну фігуру як завгодно малої площі.
Визначення 17.3. Безліч точок площини назвемо м н о ж е з тонн на про м п л про щ а д и н у л ь, якщо воно міститься в могоугольной фігурі як завгодно малої площі.
Лемма 17.2.4. Будь-яка спрямляются крива має площу нуль.
Доведення. Нехай L спрямляются крива, а `її довжина. Розіб'ємо цю криву за допомогою n + 1 точок на частини, довжина кожної з яких дорівнює `= n. (Можливість такого розбиття не викликає сумнівів.) Приймемо кожну з цих n + 1 точок за центр квадрата зі стороною 2 `= n. Об'єднання цих квадратів є многокутну фігуру, описану навколо кривої L, а площа цієї багатокутної фігури не перевищує
суми площ складових квадратів, т. е. числа