Числова вісь. Найпростіші безлічі чисел
Дійсні числа зображуються точками прямої. Робиться це так. На деякій прямій (будемо вважати її розташованої горизонтально, рис. 3) виберемо позитивний напрямок, початок відліку О і одиницю масштабу і. Для зображення позитивного числа а візьмемо на нашій прямій праворуч від початку Про точку на відстані (в прийнятому масштабі) не менше цього числа а; для зображення негативного числа а візьмемо точку зліва від початку Про на відстані, рівному числу а - 0 буде відповідати точка Про - початок відліку. Таким прийомом ми встановлюємо взаимнооднозначное відповідність між усіма точками прямої і безліччю дійсних чисел: кожне дійсне число буде зображено однієї певною точкою прямої, причому кожна точка прямої буде зображений немодного певного дійсного числа. Визначення. Пряма, для всіх точок якої встановлено вказане взаімооднозначном відповідність з безліччю всіх дійсних чисел, називається числовою віссю або числової прямої. Надалі ми будемо позначати одним і тим же символом х дійсне число х і точку х числової осі. Числова вісь дозволяє дати наочне уявлення про розташування дійсних чисел. Нерівність означає, що точка х, лежить лівіше точки xi подвійне нерівність означає, чтоточкажз лежітмеждуточкаміж! іжг. 3.1. Найпростіші безлічі чисел Дамо визначення найпростіших числових множин, з якими нам особливо часто доведеться мати справу в подальшому. Для найбільш важливих множин прийняті стандартні позначення. Так наприклад, буквами N, видання, Q, 1 позначають відповідно безлічі натуральних, цілих, раціональних і дійсних чисел. Числова вісь Найпростіші безлічі чисел Точна верхня і точна нижня межі безлічі Безліч всіх дійсних чисел х (всіх точок числової осі), що задовольняють умові a. називається відрізком (сегментом) і позначається [а, 6]. Безліч всіх дійсних чисел х, що задовольняють умові а. називається інтервалом і позначається (a, b). Безліч всіх дійсних чисел х, що визначаються нерівностями ми будемо позначати відповідно [a, b) і (а, 6] і вживати в обох випадках рівносильні терміни: напівінтервал і полуотрезок. Ми будемо розглядати також нескінченні інтервали і напівінтервалів, вводячи невласні точки (числа) + оо і -оо. Таким чином, безліч всіх дійсних чисел безліч всіх дійсних чисел безліч всіх дійсних чисел безліч всіх дійсних чисел х - безліч До всіх дійсних чисел (числова пряма). Визначення. Ок рестностью точки го числовій осі називається будь-який інтервал, що містить точку xQ. Нехай 6 - позитивне число. Визначення. 6 -окрестностью точки х0 називається інтервал. симетричний відносно точки го (рис.4). Це - сукупність всіх чисел х, що задовольняють нерівності Визначення. інтервал (яо - 6, х0 + 5), з якого викинуто точка xQi іноді називають проколеної 6-околицею точки го- Позначення. точна верхня і точна нижня межі безлічі Визначення. Безліч i? дійсних чисел називається обмеженим зверху, якщо існує число а таке, що для будь-якого числа х б Е виконано нерівність Наприклад, безліч обмежена зверху. Визначення. Безліч Е називається обмеженим знизу, якщо існує число а таке, що для будь-якого числа х е Е виконано нерівність Так, безліч всіх натуральних чисел обмежена знизу. Визначення. Безліч Е називається обмеженим, якщо воно обмежене знизу і зверху, т. Е. Якщо існують такі числа а і 6, що для будь-якого числа х 6 Е маємо Звідси випливає, що безліч Е обмежена, якщо воно міститься в деякому відрізку [а, 6 |. Безліч, що не є обмеженим зверху (знизу), називається необмеженим зверху (знизу). Наприклад, безліч всіх натуральних чисел є необмеженим зверху (але обмеженим знизу); безліч всіх негативних чисел є необмеженим знизу (але обмеженим зверху). Безліч всіх цілих чисел, безліч всіх раціональних чисел, а також безліч всіх дійсних чисел є множинами, які не обмеженими як зверху, так і знизу. Якщо безліч Е обмежена зверху числом 6, то це число b називають верхньою межею безлічі Е. В цьому випадку будь-яке число 6 ', ббльшее 6, теж буде верхньою межею безлічі Е. Визначення. Число М називається точною верхньою межею безлічі Е, якщо 1) для будь-якого х е Е виконується нерівність 2) для будь-якого як завгодно малого числа е> 0 знайдеться число х 'G Е таке, що Іншими словами, точна верхня грань безлічі Е є найменша з всіх верхніх граней безлічі Е. Точна верхня грань безлічі Е позначається (скорочення від латинського слова supremum - найвищий). Для безлічі Е, не обмеженого матеріально зверху, будемо вважати за визначенням точну верхню грань рівній + оо і писати Якщо безліч Е обмежена знизу числом а, то це число а називають нижньою гранню множини Е. Ясно, що будь-яке число, менше про, теж буде нижній гранню множини Е. Визначення. Число m називається точною нижньою гранню множини Е, якщо 1) для будь-якого х е Е виконується нерівність 2) для будь-якого як завгодно малого числа е> 0 знайдеться число х * € Е таке, що Числова вісь Найпростіші безлічі чисел Точна верхня і точна нижня межі безлічі Таким чином, точна нижня грань множини Е є найбільша з нижніх граней цієї множини. Точна нижня грань безлічі Е позначається (скорочення від латинського слова intimum - найнижчий). Для безлічі Е, не обмеженого матеріально знизу, вважаємо Приклади. Якщо Е. В першому випадку inf Е і sup £ належать множині Е, в другому - немає. Для безлічі маємо i Справедливо наступне твердження. Теорема 1. Будь-яке обмежене зверху непорожня множина дійсних чисел має точну верхню грань, а будь-яке обмежене знизу - точну нижню грань.