Біном Ньютона і трикутник Паскаля
Блез Паскаль (1623- 1662).
Ісаак Ньютон (1643-1727).
Насправді боятися тут особливо нема чого. Біном Ньютона - формула розкладання довільної натуральної ступеня двочлена \ ((a + b) ^ n \) в многочлен. Кожен з нас знає напам'ять формули «квадрата суми» \ ((a + b) ^ 2 \) і «куба суми» \ ((a + b) ^ 3 \), але при збільшенні показника ступеня з визначенням коефіцієнтів при членах многочлена починаються труднощі. Щоб не зробити помилку і застосовується формула бінома Ньютона:
У більш загальному вигляді формула коефіцієнтів в біном записується так:
де k - порядковий номер доданка в многочлене.
Нагадаємо, що факторіал - твір натуральних чисел від 1 до n, тобто \ (1 * 2 * 3 * \ ldots * n \) - позначається n !, наприклад, \ (4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24 \).
Запам'ятати формулу дійсно непросто. Але спробуємо її проаналізувати. Видно, що в будь-якому многочлене присутні a n і b n з коефіцієнтами 1. Ясно також, що будь-який інший член многочлена виглядає як твір певних ступенів кожного з доданків двочлена (a + b), причому сума ступенів завжди дорівнює n. Наприклад, у виразі \ [(a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 \] сума ступенів співмножників у всіх членах дорівнює трьом (3, 2 + 1, 1 + 2, 3). Те ж саме справедливо і для будь-якої іншої ступеня. Питання лише в тому, які коефіцієнти слід ставити при членах.
Мабуть, для того щоб полегшити працю школярів і студентів, великий французький математик і фізик Блез Паскаль триста п'ятдесят років тому вигадав спеціальний інструмент для визначення цих самих коефіцієнтів - «трикутник Паскаля».
Будується він у такий образом.В вершині трикутника пишемо 1. Одиниця відповідає виразу \ ((a + b) ^ 0, \) оскільки будь-яке число, зведена в нульову ступінь, дає одиницю. Добудовуючи трикутник, нижче пишемо ще по одиниці. Це коефіцієнти розкладання того ж двочлена, зведеного в першу ступінь: \ ((a + b) ^ 1 = a + b. \) Йдемо далі. Сторони трикутника утворюють одиниці, а між ними - сума двох одиничок, які перебувають згори, тобто 2. Це і є коефіцієнти тричлена «квадрат суми»:
Наступний ряд, як і попередній, починається і закінчується одиницями, а між ними - суми цифр, що знаходяться зверху: 1, 3, 3, 1. Ми отримали коефіцієнти розкладання «куба суми». Ряд коефіцієнтів двочлена четвертого ступеня складуть 1, 4, 6, 4, 1 і так далі.
Для прикладу за допомогою трикутника Паскаля розкладемо в многочлен суму Двочленні в шостого ступеня:
\ [(A + b) ^ 6 = a ^ 6 + 6a ^ 5b + 15a ^ 4b ^ 2 + 20a ^ 3b ^ 3 + 15a ^ 2b ^ 4 + 6ab ^ 5 + b ^ 6. \]
Все дуже нескладно і запам'ятовується на все життя. До речі, самостійно згадати і вивести формулу бінома Ньютона, намалювавши на чернетці трикутник Паскаля, теж набагато простіше.