Визначення. Система векторів А лінійно виражається через систему вектор В. якщо будь-який вектор є лінійною комбінацією деякої кінцевої підсистеми векторів В.
Ясно, що якщо. то А лінійно виражається черезВ:
Визначення. Дві системи називаються еквівалентними. якщо вони виражаються один через одного.
Зауваження. ...
Ставлення еквівалентності систем векторів має всі властивості абстрактного відносини еквівалентності:
Теорема. Нехай В - лінійно незалежна підсистема системи векторів А. тоді рівносильні три твердження:
1. Система векторів А лінійно виражається через підсистему векторів В.
2. Система векторів з приєднаним вектором а. де а - будь-який вектор з А. є лінійно залежною.
3. У системі векторів А не існує лінійно незалежних підсистем з числом вектором, більшим, ніж в системі В.
Доведення. За умовою теореми система А може бути кінцевою або нескінченною, проте підсистема В - тільки кінцевої (по теоремі про максимальний числі лінійно незалежних векторів).
Крок 1. Доведемо, що. Розглянемо систему. де - будь-який вектор. Так як а лінійно виражається через В. то за критерієм лінійної залежності система лінійно залежна, тобто 2) виконано.
Виконання умови 2 означає, що В є максимально незалежною підсистемою системи А.
Крок 2. Доведемо, що. Нехай - будь-яка лінійно незалежна підсистема системи А. Візьмемо будь-який вектор. Розглянемо систему. яка за умовою 2 є лінійно залежною. Тоді за властивістю 3 лінійної залежності вектор а є лінійною комбінацією підсистеми В. Отже, всі вектори лінійно незалежної підсистеми є лінійними комбінаціями векторів підсистеми В і число векторів в не перевищує числа векторів в В.
Крок 3. Доведемо, що. Розглянемо будь-який вектор і утворимо систему. де векторів на 1 більше, ніж в В. Тому по властивості 3 лінійної залежності вектор а є лінійно комбінацією векторів з В. тому А лінійно виражається через підсистему векторів В.
Визначення. Базисом системи векторовА називається будь-яка її лінійно незалежна підсистема В. через яку лінійно виражаються всі вектори сістемиу.
Визначення. Базисом системи векторовА називається будь-яка її максимальна лінійно незалежна підсистема В.
Приклад. Сукупність двовимірних одиничних векторів. складають одиничний базис двовимірного простору; ранг двовимірного простору дорівнює двом.
1) Система векторів А еквівалентна будь-якому своєму базису В.
2) Число векторів у всіх базисах одне і те ж.
Доведення. Нехай В і - два базису системи векторів А. причому. n - число векторів в В. m - число векторів в. Тоді В лінійно незалежна і лінійно виражаються через і. Змінюючи ролями В і. отримуємо. Таким чином, . # 9632;
Визначення. Рангом системи векторовА називається число векторів в будь-якому її базисі.
Визначення. Рангом системи векторовА називається максимальне число її лінійно незалежних векторів.
Позначається ранг або rang A. або rank A. або r (A).