Так як лектори, які читають предмет, і книги, рекомендовані по предмету, один від одного не залежать, то дане відношення містить багатозначну залежність. Таке ставлення має цілу низку аномалій. Одна з них полягає в тому, що якщо ми хочемо порекомендувати нову книгу за курсом Мата, нам доведеться додати стільки нових записів, скільки лекторів ведуть Мата і навпаки.
По-перше, це надмірно. А по-друге, для такого ставлення необхідно розробляти додатковий механізм контролю цілісності. Оптимальним вирішенням проблеми буде декомпозиція відносини на два з заголовками і. Така декомпозиція буде перебувати в 4NF. Допустимість декомпозиції встановлює теорема Феджина (див. Далі).
зв'язкові пари
Феджин показав, що багатозначні залежності утворюють зв'язкові пари (в позначеннях визначення):
Тому їх часто подають разом в символічному записі:
функціональні залежності
Будь-яка функціональна залежність є багатозначною. Іншими словами, функціональна залежність - це багатозначна залежність, в якій безліч залежних значень, що відповідає заданому значенню детермінанта, завжди має одиничну потужність.
У 1977 році Бері, Феджин і Ховард встановили, що правила виведення Армстронга можна узагальнити і поширити, як на функціональні, так і на багатозначні залежності.
Нехай у нас є ставлення r (R) і безлічі атрибутів A. B. C. D ⊆ R. Для скорочення запису замість X ∩ Y будемо писати просто X Y.
Група 1: базові правила.
Група 2: виводяться кілька додаткових правил, що спрощують задачу виведення багатозначних залежностей.
Група 3: встановлюється зв'язок між функціональними і багатозначними залежностями.
Група 4: для функціональних залежностей, виводяться з вищенаведених правил.
Правила виведення Армстронга разом з викладеними тут правилами груп 1 і 3 утворюють повний (використовуючи їх, можна вивести всі інші багатозначні залежності, що маються на увазі даними їх безліччю) і надійний ( «зайвих» багатозначних залежностей вивести не можна; виведена багатозначна залежність справедлива скрізь, де справедливо то безліч багатозначних залежностей, з якого вона була виведена) набір правил виведення багатозначних завісісмостей.
декомпозиція відносин
теорема Феджина
Нехай дано відношення r (A. B. C). Ставлення r дорівнюватиме з'єднанню його проекцій r [A. B] і r [A. C] тоді і тільки тоді, коли для відносини r виконується нетривіальна багатозначна залежність A ↠ B | C.
Ця теорема є більш суворою версією теореми Хіта.