Формула (1) може бути застосована і в разі, коли крива, що обмежує криволінійну трапецію, задана параметричними рівняннями
Провівши заміну змінної в інтегралі (1) (в припущенні, що при і при), отримаємо
Якщо плоска фігура обмежена кусочно-гладкою замкнутої кривої, заданої параметричними рівняннями. причому при межа пробігається проти годинникової стрілки, то площа фігури обчислюється за однією з формул:
Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженою еліпсом
Перший спосіб. З урахуванням симетрії еліпса щодо координатних осей відповідно до формули (1) запишемо
Самостійно розрахуйте інтеграл за допомогою заміни (як в прикладі 5).
Другий спосіб. Запишемо параметричні рівняння еліпса:
Нижньої межі інтегрування відповідає значення параметра. якщо. то. За формулою (4) знаходимо
Третій спосіб. При зміні параметра від до межа фігури обходиться проти годинникової стрілки, починаючи з точки. Наприклад, за першою з формул (5) знаходимо
Зауваження. Корисно запам'ятати, що площа, обмежена еліпсом з півосями. визначається формулою
Приклад 8. Знайти площу, обмежену віссю абсцис і першої аркою циклоїди
Циклоиду описує точка окружності радіуса. котиться без ковзання по прямій. Повний оборот окружність робить при зміні параметра від 0 до. пройшовши при цьому по прямій відстань. При цьому якщо. то. якщо. то.
За формулою (4) знайдемо
Площа, обмежена однією аркою циклоїди і віссю абсцис дорівнює потроєною площі утворює кола.