3-14 косокутність ПРОЕКЦІЇ
На противагу ортографической і аксонометричних проекцій, для яких проектори перпендикулярні площині проекції, Косокутна проекція формується паралельними проекторами з центром, лежачим в нескінченності, і розташованими під косим кутом до площини проекції. Загальна схема проекції зображена на рис. 3-20.
Косокутні проекції показують загальну тривимірну форму об'єкта. Однак справжні розмір і форма зображуються тільки для граней об'єкта, розташований паралельно площині проекції, тобто кути і довжини зберігаються тільки для таких граней. Справді, Косокутна проекція цих граней еквівалентна ортографической увазі спереду. Грані, що не паралельні площині проекції, піддаються перекручуванню.
Особливий інтерес представляють дві косокутні проекції - Кавальє і кабіні. Проекція Кавальє виходить, коли кут між проекторами і площиною проекції становить. У цій проекції коефіцієнти спотворення для всіх трьох головних напрямків однакові. Результат цієї проекції виглядає неприродно потовщеним. Для «корекції» цього недоліку використовується проекція кабіні.
Проекцією кабіні називається така Косокутна проекція, у якій коефіцієнт спотворення для ребер, перпендикулярних площині проекції, дорівнює 1/2. Як буде показано нижче, для проекції кабіні кут між проекторами і площиною проекції становить.
Мал. 3-20 Косокутна проекція.
Мал. 3-21 Побудова косокутній проекції.
Щоб побудувати матрицю перетворення для косокутній проекції, розглянемо одиничний вектор уздовж осі, показаний на рис. 3-21. Для ортографической або аксонометрической проекції на площину вектор задає напрямок проекції. При косокутній проекції проектори складають кут з площиною проекції. На рис. 3-21 показані типові косокутні проектори та. Проектори та утворюють кут з площиною проекції. Зауважимо, що всі можливі проектори, що проходять через точку або й утворюють кут з площиною, лежать на поверхні конуса з вершиною в або. Таким чином, для заданого кута існує нескінченна кількість косокутних проекцій.
Проектор можна отримати з за допомогою перенесення на точки в точку. У двовимірної площині, що проходить через перпендикулярно осі, матриця перетворення дорівнює
У тривимірному просторі це двовимірне перетворення еквівалентно зсуву вектора в напрямках і. Для цього необхідно перетворення
Проектування на площину дає
З рис. 3-21 отримуємо, що
де - довжина спроектованого одиничного вектора на осі, тобто коефіцієнт спотворення, а - кут між горизонталлю і спроектований віссю. З рис. 3-21 також ясно, що - кут між косими проекторами і площиною проекції дорівнює
Таким чином, перетворення для косокутній проекції має вигляд:
При, отримуємо ортографической проекцію. Якщо, щось не піддаються перекручуванню ребра, перпендикулярні площині проекції. А це є умовою проекції Кавальє. З рівності (3-43) маємо:
Зауважимо, що в проекції Кавальє є все ще вільним параметром. На рис. 3-22 показані проекції Кавальє для деяких значень. Найбільш часто використовуються значення, рівні і. Також застосовується значення.
Проекцію кабіні можна отримати при коефіцієнті спотворення. Звідси
В цьому випадку знову кут є змінною величиною, як це показано на рис. 3.23. Найбільш часто зустрічаються значення і, застосовується також значення.
Мал. 3-22 Проекції Кавальє. Зверху вниз кут змінюється від до з інтервалом, кут.
Мал. 3-23 Проекції кабіні. Зверху вниз кут змінюється від до з інтервалом, коефіцієнт спотворення.
Мал. 3-24 Косокутні проекції. Зліва направо при.
Мал. 3-25 Спотворення, що виникає в косокутних проекціях,,. (А) Кругла грань паралельна площині проекції; (B) кругла грань перпендикулярна площині проекції; (С) довга сторона перпендикулярна площині проекції; (D) довга сторона паралельна площині проекції.
На рис. 3-24 зображені косокутні проекції для коефіцієнтів спотворення з кутом.
Оскільки зображується справжня форма однієї грані, косокутні проекції особливо підходять для ілюстрації об'єктів з круглими або іншими викривленими гранями. Такі межі повинні бути паралельні площині проекції, щоб уникнути небажаних спотворень. Так само, як і в випадку паралельних проекцій, об'єкти з одним виміром, істотно перевершує інші, зазнають значного спотворення, якщо тільки це вимір не паралельно площині проекції. Такі ефекти показані на рис. 3-25.
Нижче наводиться докладний приклад.
Приклад 3-16 Косокутні проекції
Побудуємо проекції Кавальє і кабіні для куба з одним відсіченим кутом (див. Приклад 3-13).
Згадавши, що проекція Кавальє - це Косокутна проекція с, тобто коефіцієнт спотворення, і вибравши кут горизонтального нахилу, з (3-44) отримаємо матрицю перетворення
Перетворимо координати куба з відсіченим кутом (див. Приклад 3-13)
Результат зображений на рис. 3-22.
Звернувшись тепер до проекції кабіні і згадавши, що коефіцієнт спотворення дорівнює 1/2, з рівності (3-43) отримаємо
Знову вибравши, з (3-44), маємо:
Перетворені координати проекції кабіні для цього куба рівні
Цей результат зображений на рис. 3-23.
Відзначимо, що і для проекції Кавалі, і для проекції кабіні трикутна грань незображується з правильними розмірами або формою, так як вона не паралельна площині проекції ().