1-я лекція. коливання
Загальні відомості про коливання. Малі коливання. Комплексні числа. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з
Вільні коливання системи без тертя. Гармонійні коливання. Амплітуда, частота і фаза коливання. Енергія гармонійного коливання. Математичний і фізичний маятники.
Загальні відомості про коливання
Коливаннями називаються процеси, що відрізняються тим або іншим ступенем повторюваності. Таким властивістю повторюваності володіють, наприклад, хитання маятника годин, коливання струни або ніжок камертона, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача і т. П.
Залежно від фізичної природи повторюваного процесу розрізняють коливання: механічні, електромагнітні, електромеханічні і т. Д. У цьому розділі розглядаються механічні коливання.
Коливання широко поширені в природі і техніці. У багатьох випадках вони відіграють негативну роль. Коливання моста, що виникають із-за поштовхів, що повідомляються йому колесами поїзда при проходженні через стики рейок, коливання (вібрації) корпусу корабля, викликані обертанням гребного гвинта, вібрації крил літака - все це процеси, які можуть призвести до катастрофічних наслідків. У подібних випадках завдання полягає в тому, щоб запобігти виникненню коливань або у всякому разі перешкодити тому, щоб коливання досягли небезпечних розмірів.
Разом з тим коливальні процеси лежать в самій основі різних галузей техніки. Так, наприклад, на коливальних процесах заснована вся радіотехніка.
Залежно від характеру впливу, що чиниться на коливну систему, розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання та параметричні коливання.
Вільними або власними називаються такі коливання, які відбуваються в системі, наданій самій собі після того, як їй був повідомлений поштовх, або вона була виведена з положення рівноваги. Прикладом можуть служити коливання кульки, підвішеного на нитці (маятник). Для того щоб викликати коливання, можна або штовхнути кульку, або, відвівши в бік, відпустити його.
Вимушеними називаються такі коливання, в процесі яких коливається система піддається впливу зовнішнього періодично змінюється сили. Прикладом можуть служити коливання моста, що виникають при проходженні по ньому людей, крокуючих в ногу.
Автоколебания, як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на коливну систему зовнішніх сил, однак моменти часу, коли здійснюються ці дії, задаються самої хитається системою - система сама управляє зовнішнім впливом. Прикладом автоколебательной системи є годинник, в яких маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в ті моменти, коли маятник проходить через середнє положення.
При параметричні коливання за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи, наприклад дліми нитки, до якої підвішений кулька, що здійснює коливання.
Найпростішими є гармонійні коливання, т. Е. Такі коливання, при яких коливається величина (наприклад, відхилення маятника) змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Цей вид коливань особливо важливий з наступних причин: по-перше, коливання в природі і в техніці часто мають характер, дуже близький до гармонійних, і, по-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладення декількох гармонійних коливань.
Розглянемо систему, що складається з кульки маси m. підвішеного на пружині (рис. 162). У стані рівноваги сила mg урівноважується пружною силою k Δl0:
Будемо характеризувати зсув кульки з положення рівноваги координатою х. причому вісь х направимо по вертикалі вниз, а нуль осі сумісний з положенням рівноваги кульки. Якщо змістити кулька від положення рівноваги на відстань, рівну х
(Х - алгебраїчна величина), то подовження пружини стане рівним Δl0 + х і проекція результуючої сили на вісь х (позначимо цю проекцію просто буквою f) прийме значення
З огляду на умову рівноваги (62.1), отримаємо, що
Знак «-» у формулі (62.2) відображає ту обставину, що зміщення і сила мають протилежні напрямки:
якщо кулька зміщений з положення рівноваги вниз (х> 0), сила спрямована вгору (f <0), при смещении шарика вверх (х <0) сила направлена вниз (f> 0). Таким чином, сила f має такі властивості: 1) вона пропорційна зміщенню кульки з положення рівноваги, 2) вона завжди спрямована до положення рівноваги.
У розглянутому нами прикладі сила (62.2), по суті, за своєю природою пружна. Може трапитися, що сила іншого походження виявляє таку ж закономірність, т. Е. Виявляється рівною -kx. де k - постійна позитивна величина. Сили такого виду, незалежно від їх природи, прийнято називати квазіпружної.
Для того щоб повідомити системі зміщення х. потрібно зробити проти квазіпружної сили роботу
Ця робота йде на створення запасу потенційної енергії системи. Отже, система, в якій діє квазіупругая сила, при зміщенні з положення рівноваги на відстань х має потенційну енергією ')
(Потенційну енергію в положенні рівноваги вважаємо рівною нулю).
Вираз (62.3) збігається з виразом (27.13) для потенційної енергії деформованої пружини.
Звернемося знову до системи, зображеної на рис. 162. Повідомимо кульці зміщення х = а. після чого надамо систему самої себе. Під дією сили f = -kx кулька буде рухатися до стану рівноваги з дедалі більшою швидкістю v = х '. При цьому потенційна енергія системи буде спадати (рис. 163), але зате з'явиться все зростаюча кінетична енергія Ek = mx '2/2 (масою пружини зневажаємо).
Прийшовши в положення рівноваги, кулька продовжує рухатися за інерцією. Цей рух буде уповільненим і припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перетвориться в потенційну, т. Е. Коли зсув кульки стане рівним (- а). Потім такий же процес буде протікати при русі кульки в зворотному напрямку.
') Ми змушені відмовитися від позначень кінетичної і потенційної енергії, якими користувалися в механіці. У вченні про коливання буквою Т прийнято позначати період коливань. Буквою U в молекулярної фізики позначають внутрішню енергію тіла.
Додавання коливань одного напрямку. Векторна діаграма. Биття. Додавання взаємно перпендикулярних коливань.
Затухаючі коливання. Коефіцієнт загасання. Логарифмічний декремент загасання. Добротність коливальної системи. Апериодическое рух. Автоколебания.
Графічне зображення гармонійних коливань. векторна діаграма
Рішення ряду питань, зокрема, додавання декількох коливань одного і того ж напрямку, значно полегшується і стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Отримана таким способом схема називається векторною діаграмою.
Візьмемо вісь, яку позначимо літерою х (ріс.171)
З точки О. взятої на осі, відкладемо вектор довжини а. утворює з віссю кут α. Якщо привести цей вектор в обертання з кутовою швидкістю ω0. то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х в межах від -а до + а. причому координата цієї проекції буде змінюватися з часом за законом
Отже, проекція кінця вектора на вісь буде здійснювати гармонійнеколивання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, круговою частотою, рівній кутової швидкості обертання вектора, і початковою фазою, рівної кутку, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.
Зі сказаного випливає, що гармонійнеколивання може бути задано за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрямок вектора утворює з віссю х кут, рівний початковій фазі коливання.
Додавання коливань однакового напрямку
Можливі випадки, коли тіло бере участь одночасно в декількох коливаннях, що відбуваються вздовж одного і того ж або уздовж різних напрямків.
Якщо, наприклад, підвісити кульку на пружині до стелі вагона, що хитається на ресорах, то рух кульки відносно поверхні Землі буде складатися з коливань вагону відносно Землі і коливань кульки щодо вагона. Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку і однакової частоти. Зсув х коливається тіла буде сумою зсувів х1 і х2. які запишуться в такий
Уявімо обидва коливання за допомогою векторів a1 і а2 (рис. 172). Побудуємо за правилами додавання векторів результуючий вектор а. Легко бачити, що проекція цього вектора на вісь х дорівнює сумі проекцій доданків векторів:
Отже, вектор а являє собою результуюче коливання. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю ω0. як і вектори a1 і а2. так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою ω0. амплітудою а й початковою фазою α. З побудови видно, що
Отже, уявлення гармонійних коливань за допомогою векторів дає можливість звести складання кількох коливань до операції додавання векторів. Цей прийом буває особливо корисний, наприклад, в оптиці, де світлові коливання в певній точці визначаються як результат накладення багатьох коливань, що приходять в дану точку від різних ділянок хвильового фронту.
Формули (69.2) і (69.3) можна, звичайно, отримати, склавши вирази (69.1) і провівши відповідні тригонометричні перетворення. Але застосований нами спосіб отримання цих формул відрізняється більшою простотою і наочністю.
Проаналізуємо вираз (69.2) для амплітуди. Якщо різниця фаз обох коливань α2 - α1 дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі а1 і А2. Якщо різниця фаз α2 - α1 дорівнює + π або -π, т. Е. Обидва коливання знаходяться в протифазі, то амплітуда результуючого коливання дорівнює | а1 - а2 |.
Якщо частоти коливань х1 і х2 неоднакові, вектори a1 і а2 будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор а пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонійнеколивання, а деякий складний коливальний процес.
Особливий інтерес представляє випадок, коли два складаються гармонійних коливання однакового напрямку мало відрізняються за частотою. Як ми зараз покажемо, результуюче рух за цих умов можна розглядати як
гармонійнеколивання з пульсуючим амплітудою. Таке коливання називається биттям.
Позначимо частоту одного з коливань буквою ω, частоту другого коливання через ω + Δω. За умовою Δω <<ω. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Поскольку частоты колебаний несколько отличны, всегда можно выбрать начало отсчета времени так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Практически это означает,
що ми повинні дочекатися, поки зміщення в обох коливаннях досягнуто одночасно найбільшого позитивного значення, і в цей момент «запустити секундомір». Тоді рівняння обох коливань будуть мати такий вигляд:
Складаючи ці два вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми косинусів, отримуємо:
(У другому множнику нехтуємо членом Δω / 2 в порівнянні з ω).
Графік функції (70.1) зображений на рис. 173, а. Графік побудований для ω / Δω = 10.
Ув'язнений в дужки множник у формулі (70.1) змінюється набагато повільніше, ніж другий множник.